Para determinar o ângulo entre os planos dados pelas equações \(\alpha: 2x + y - z + 3 = 0\) e \(\beta: x + y - 4 = 0\), precisamos encontrar os vetores normais de cada plano. 1. Encontrar os vetores normais: - Para o plano \(\alpha\), a equação é \(2x + y - z + 3 = 0\). O vetor normal \(\vec{n_1}\) é \((2, 1, -1)\). - Para o plano \(\beta\), a equação é \(x + y - 4 = 0\). O vetor normal \(\vec{n_2}\) é \((1, 1, 0)\). 2. Calcular o ângulo entre os vetores normais: O ângulo \(\theta\) entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} \] - Primeiro, calculamos o produto escalar \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}\): \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 2 + 1 + 0 = 3 \] - Agora, calculamos as normas dos vetores: \[ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] - Agora, substituímos na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. Encontrar o ângulo: Sabemos que \(\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) corresponde ao ângulo \(\theta = \frac{\pi}{6}\) rad. Portanto, a alternativa correta é: E) \(\pi/6\) rad.