Para determinar quantas relações existem em um conjunto com \( n \) elementos, precisamos entender que uma relação é um subconjunto do produto cartesiano do conjunto consigo mesmo. O produto cartesiano de um conjunto com \( n \) elementos tem \( n^2 \) pares ordenados. Como cada par ordenado pode estar ou não na relação, temos duas opções (incluir ou não incluir) para cada um dos \( n^2 \) pares. Portanto, o número total de relações possíveis é \( 2^{n^2} \). Analisando as alternativas: a) Existem \( n^2 \) relações - Incorreto, isso é o número de pares ordenados. b) Existem \( 2^{n^2} \) relações - Correto, essa é a resposta correta. c) Existem \( n^{n+1} \) relações - Incorreto. d) Existem \( 2(n+1)^2 \) relações - Incorreto. e) Existem \( 1n \) relações - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: b) Existem \( 2^{n^2} \) relações.