Para determinar uma base do subespaço \( V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid y - 2z = 0\} \), precisamos entender a condição que define esse subespaço. A equação \( y - 2z = 0 \) pode ser reescrita como \( y = 2z \). Isso significa que, para qualquer vetor \( (x,y,z) \) em \( V \), podemos expressar \( y \) em termos de \( z \). Podemos parametrizar os vetores em \( V \) da seguinte forma: \[ (x, y, z) = (x, 2z, z) = (x, 0, 0) + (0, 2z, z) \] Isso nos mostra que podemos escolher \( x \) e \( z \) como variáveis livres. Assim, podemos expressar os vetores em \( V \) como combinações lineares de dois vetores geradores. Vamos analisar as alternativas: A) \( \{(1,0,2), (1,2,1)\} \) B) \( \{(1,0,0), (0,2,1)\} \) C) \( \{(0,0,0), (1,1,1)\} \) D) \( \{(1,1,1), (3,1,2)\} \) Agora, vamos verificar se cada conjunto de vetores satisfaz a condição \( y - 2z = 0 \): - A) \( (1,0,2) \): \( 0 - 2(2) = -4 \) (não está em \( V \)) \( (1,2,1) \): \( 2 - 2(1) = 0 \) (está em \( V \)) Não é uma base. - B) \( (1,0,0) \): \( 0 - 2(0) = 0 \) (está em \( V \)) \( (0,2,1) \): \( 2 - 2(1) = 0 \) (está em \( V \)) Pode ser uma base. - C) \( (0,0,0) \): vetor nulo (não pode ser parte de uma base) \( (1,1,1) \): \( 1 - 2(1) = -1 \) (não está em \( V \)) Não é uma base. - D) \( (1,1,1) \): \( 1 - 2(1) = -1 \) (não está em \( V \)) \( (3,1,2) \): \( 1 - 2(2) = -3 \) (não está em \( V \)) Não é uma base. A única alternativa que contém vetores que estão no subespaço \( V \) e que podem gerar o espaço é a alternativa B. Portanto, a resposta correta é: B) \( \{(1,0,0), (0,2,1)\} \).