Para encontrar o vetor gradiente da função \( f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z \ln(x) \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \), \( y \) e \( z \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + z \cdot \frac{1}{x} = 2x + \frac{z}{x} \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \] 3. Derivada parcial em relação a \( z \): \[ f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = \ln(x) \] Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto \( (1, 1, 1) \): - Para \( f_x \): \[ f_x(1, 1, 1) = 2(1) + \frac{1}{1} = 2 + 1 = 3 \] - Para \( f_y \): \[ f_y(1, 1, 1) = 2(1) = 2 \] - Para \( f_z \): \[ f_z(1, 1, 1) = \ln(1) = 0 \] Assim, o vetor gradiente \( \nabla f \) em \( (1, 1, 1) \) é: \[ \nabla f(1, 1, 1) = \langle f_x, f_y, f_z \rangle = \langle 3, 2, 0 \rangle \] Portanto, a alternativa correta é: C. ⟨3,2,0⟩.