Para determinar a natureza do sistema linear dado, precisamos analisar as equações: 1. \(2X + 4Y + 6Z = 0\) 2. \(4X - 8Y - 3Z = 1\) 3. \(X + Y - Z = 2\) Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, podemos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 2: \[ X + 2Y + 3Z = 0 \quad (1) \] Agora, vamos analisar as equações. A segunda equação pode ser manipulada para ver se ela é consistente com as outras. Vamos tentar expressar \(Z\) em termos de \(X\) e \(Y\) usando a terceira equação: \[ Z = X + Y - 2 \quad (2) \] Substituindo (2) na primeira equação (1): \[ X + 2Y + 3(X + Y - 2) = 0 \] \[ X + 2Y + 3X + 3Y - 6 = 0 \] \[ 4X + 5Y - 6 = 0 \quad (3) \] Agora, substituindo (2) na segunda equação: \[ 4X - 8Y - 3(X + Y - 2) = 1 \] \[ 4X - 8Y - 3X - 3Y + 6 = 1 \] \[ X - 11Y + 6 = 1 \] \[ X - 11Y = -5 \quad (4) \] Agora temos duas novas equações (3) e (4): 1. \(4X + 5Y = 6\) 2. \(X - 11Y = -5\) Podemos resolver esse sistema de duas equações. Multiplicando a segunda equação por 4: \[ 4X - 44Y = -20 \quad (5) \] Agora, subtraímos a equação (3) da equação (5): \[ (4X - 44Y) - (4X + 5Y) = -20 - 6 \] \[ -49Y = -26 \] \[ Y = \frac{26}{49} \] Substituindo \(Y\) na equação (4): \[ X - 11\left(\frac{26}{49}\right) = -5 \] \[ X = -5 + \frac{286}{49} \] \[ X = \frac{-245 + 286}{49} = \frac{41}{49} \] Agora, substituindo \(X\) e \(Y\) na equação (2) para encontrar \(Z\): \[ Z = \frac{41}{49} + \frac{26}{49} - 2 \] \[ Z = \frac{67}{49} - \frac{98}{49} = \frac{-31}{49} \] Portanto, temos uma solução única para \(X\), \(Y\) e \(Z\). Assim, o sistema é "possível e determinada". A alternativa correta é: B) Possível e determinada.