Para resolver a equação diferencial ordinária dada, precisamos primeiro encontrar a equação característica associada. A equação diferencial é: \[ y'' + 5y' + 6y = 0 \] A equação característica é obtida substituindo \( y \) por \( e^{rt} \), resultando na seguinte equação: \[ r^2 + 5r + 6 = 0 \] Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = 5 \) e \( c = 6 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-5 \pm 1}{2} \] Isso nos dá duas raízes: 1. \( r_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) 2. \( r_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) Portanto, as raízes da equação característica são \( r_1 = -2 \) e \( r_2 = -3 \). Analisando as alternativas: A. \( r_1 = -5 \) e \( r_2 = -3 \) (incorreto) B. \( r_1 = 1 \) e \( r_2 = 3 \) (incorreto) C. \( r_1 = -2 \) e \( r_2 = 3 \) (incorreto) D. \( r_1 = 3 \) e \( r_2 = -5 \) (incorreto) E. \( r_1 = -2 \) e \( r_2 = -3 \) (correto) A alternativa correta é: E. \( r_1 = -2 \) e \( r_2 = -3 \).