Para calcular a massa total da lâmina, precisamos usar a integral dupla da densidade de massa sobre a região delimitada. A densidade é dada por \( \rho(x,y) = xy \). 1. Definir a região de integração: A região é delimitada por \( y = x - 1 \) e \( y = 0 \) para \( 1 \leq x \leq 4 \). 2. Encontrar os limites de integração: - Para \( x \) variando de 1 a 4. - Para cada \( x \), \( y \) varia de 0 até \( y = x - 1 \). 3. Montar a integral: \[ M = \int_{1}^{4} \int_{0}^{x-1} xy \, dy \, dx \] 4. Calcular a integral interna: \[ \int_{0}^{x-1} xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x-1} = x \left( \frac{(x-1)^2}{2} \right) = \frac{x(x-1)^2}{2} \] 5. Substituir na integral externa: \[ M = \int_{1}^{4} \frac{x(x-1)^2}{2} \, dx \] 6. Calcular a integral externa: \[ M = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} x(x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} (x^3 - 2x^2 + x) \, dx \] 7. Resolver a integral: \[ = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} \] 8. Calcular os limites: - Para \( x = 4 \): \[ \frac{4^4}{4} - \frac{2 \cdot 4^3}{3} + \frac{4^2}{2} = 64 - \frac{128}{3} + 8 = 64 + 8 - \frac{128}{3} = 72 - \frac{128}{3} = \frac{216 - 128}{3} = \frac{88}{3} \] - Para \( x = 1 \): \[ \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{1}{4} - \frac{2}{12} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \] 9. Substituir os limites na integral: \[ M = \frac{1}{2} \left( \frac{88}{3} - \frac{1}{12} \right) \] 10. Encontrar um denominador comum e simplificar: \[ = \frac{1}{2} \left( \frac{352}{12} - \frac{1}{12} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{351}{12} \right) = \frac{351}{24} \] Portanto, a massa total da lâmina é \( \frac{351}{24} \).