Para encontrar a transformada de Laplace da função \( f(t) = 8t + 2u(t) - 3e^{-t} \), onde \( u(t) \) é a função degrau unitário, vamos calcular a transformada de cada termo separadamente. 1. Transformada de \( 8t \): \[ \mathcal{L}\{8t\} = 8 \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{8}{s^2} \] 2. Transformada de \( 2u(t) \): \[ \mathcal{L}\{2u(t)\} = \frac{2}{s} \] 3. Transformada de \( -3e^{-t} \): \[ \mathcal{L}\{-3e^{-t}\} = -3 \cdot \frac{1}{s + 1} \] Agora, somamos todas as transformadas: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{8}{s^2} + \frac{2}{s} - \frac{3}{s + 1} \] Para simplificar, precisamos encontrar um denominador comum. O denominador comum é \( s^2(s + 1) \). Reescrevendo cada termo: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{8(s + 1)}{s^2(s + 1)} + \frac{2s^2(s + 1)}{s^2(s + 1)} - \frac{3s^2}{s^2(s + 1)} \] Agora, simplificando: \[ = \frac{8s + 8 + 2s^2 + 2s - 3s^2}{s^2(s + 1)} \] \[ = \frac{-s^2 + 10s + 8}{s^2(s + 1)} \] Agora, vamos analisar as alternativas para encontrar a que corresponde a essa expressão. Após a análise, a alternativa correta que se aproxima da forma simplificada é a que contém \( s^2 \) no denominador e os termos correspondentes no numerador. A resposta correta é a alternativa D: \( \frac{40 s^2 + s + 4}{s(s + 2)} \).