Para resolver a equação diferencial dada, primeiro precisamos identificar os parâmetros e a equação característica. A equação é: \[ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + c \frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = 0 \] Substituindo os valores: - \( m = 1 \) kg - \( c = 2 \) - \( k = 2 \) A equação se torna: \[ \frac{d^2x(t)}{dt^2} + 2 \frac{dx(t)}{dt} + 2x(t) = 0 \] A equação característica é: \[ r^2 + 2r + 2 = 0 \] Usando a fórmula para as raízes: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1, b = 2, c = 2 \): \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i \] As raízes são complexas distintas, então a solução geral é: \[ x(t) = e^{-t}(c_1 \cos(t) + c_2 \sin(t)) \] Agora, aplicando as condições iniciais \( x(0) = 1 \) e \( \frac{dx(0)}{dt} = 0 \): 1. Para \( x(0) = 1 \): \[ 1 = e^{0}(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) \Rightarrow 1 = c_1 \] 2. Para \( \frac{dx(0)}{dt} = 0 \): Calculando a derivada: \[ \frac{dx(t)}{dt} = e^{-t}(-c_1 \cos(t) - c_2 \sin(t)) + e^{-t}(-c_1 \sin(t) + c_2 \cos(t)) \] Substituindo \( t = 0 \): \[ 0 = -c_1 + c_2 \] Como \( c_1 = 1 \): \[ 0 = -1 + c_2 \Rightarrow c_2 = 1 \] Portanto, a solução particular é: \[ x(t) = e^{-t}(\cos(t) + \sin(t)) \] Assim, a alternativa correta que representa a solução da equação diferencial é: \[ x(t) = e^{-t}(\cos(t) + \sin(t)) \]