Nesse exercício, queremos encontrar totos os planos que contenha a reta dada e, portanto, se cruzam nela. Para isso vamos escrever a equação geral do plano:

\(x+ay+bz+c=0\)

Substituindo as coordenadas da reta, dadas, temos:

\((1+2t)+a(-2+3t)+b(5-t)+c=0\)

Simplificando, temos:

\((1-2a+5b+c)+(2+3a-b)t\equiv0=0+0t\)

Essa expressão é uma identidade em \(t\), isto é, independente do seu valor, ela deve ser verdadeira, o que nos leva a esse sistema de equações:

\(\left\{\begin{align} 1-2a+5b+c&=0\\ 2+3a-b&=0\Rightarrow b=3a+2 \end{align}\right.\)

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

\(1-2a+5(3a+2)+c=0\Rightarrow c=-13a-11\)

Substituindo na equação geral do plano, temos:

\(\boxed{x+ay+(3a+2)z=13a+11}\)