Área em coordenadas polares

Não seria de theta pi/3 até 4pi/3 não? (fiz uma questão igual na lista de cálculo e era até 4pi/3, mas enfim, se for 5pi/3 só substituir)

Tenta primeiro fazer o gráfico. Ele vai ser: Cardióide "de 0 à pi e de pi à 0". A circunferência vai ter o diâmetro sob o eixo polar e a sua extremidade tocando o eixo normal (90 graus).  A área vai ser parecida com uma elipse, que é a interseção entre a cardióide e a circunferência. 

A fórmula de área é: 1/2 {[∫ (a até b) (equação)^2]}

A área vai ser: 1/2 {[∫ (pi/3 até pi/2) (cos theta)^2] MENOS [∫ (zero até pi/3)  (1-cos theta)^2]}

A minha lista tinha uma questão dessa (questão 13.3 lista de coordenadas polares) e deu certo. Espero ter ajudado :*

Muito obrigada!!!Ajudou bastante! :)

Para encontrarmos a interseção do circulo e do cardiode, devemos realizar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & r=\cos \theta \\ & r=1-\cos \theta \\ & \cos \theta =1-\cos \theta \\ & -2\cos \theta +1=0 \\ & \\ & A=\frac{1}{2}\int_{\pi /3}^{5\pi /3}{{{r}^{2}}}d\theta \\ & A=\frac{1}{2}\int_{\pi /3}^{5\pi /3}{{{(-2\cos \theta +1)}^{2}}}d\theta \\ & A=\frac{1}{8}\left( 6\theta -8\sin \theta +\sin 2\theta \right)_{60}^{300} \\ & A=\frac{1}{8}\left( \left( 10\pi +6,92-0,86 \right)-\left( 2\pi -6,92+0,86 \right) \right) \\ & A=\frac{1}{8}\left( \left( 8\pi +12,12 \right) \right) \\ \end{align}\ \)

Portanto, a interseção entre o circulo eo cardiode será \(\boxed{A = \frac{1}{8}\left( {\left( {8\pi + 12,12} \right)} \right)}\).