Qual a diferença entre representação, mandato e procuração?

Representação é sanar a incapacidade de realizar atos jurídicos de alguém - ver quem são os incapazes, Código Civil. O representado realiza esses atos com a representação de alguém, o representante não atua. Por ex.: Numa ação de alimentos em que há uma criança de 4 anos como parte, ela é quem realiza os atos jurídicos, e a mãe (por exemplo!!) assina como representante. A mãe, nesse caso, não realiza ato algum, somente participa para fins de sanar a incapacidade.
Quanto a mandato e procuração: Art. 653. Opera-se o mandato quando alguém recebe de outrem poderes para, em seu nome, praticar atos ou administrar interesses. A procuração é o instrumento do mandato.
Já no mandato outra pessoa, em nome de quem lhe concedeu poderes, realiza esses atos jurídicos. Por ex.: Um advogado quanto ao seu cliente. E a procuração é o que permite essa realização de atos em nome de outra pessoa, no exemplo, a procuração dá poderes ao advogado de agir em nome do cliente.

Modelo se faz a resposta da colega Dra. Bárbara Dornelles Flores. Colaborando com o assunto, sugiro leitura do texto publicado pela Editora Lex: http://www.editoralex.com.br/doutrina_23521941_MANDATO_PROCURACAO_E_REPRESENTACAO_NO_NOVO_CODIGO_CIVIL_BRASILEIRO.aspx

Mandato é o contrato pelo qual alguém recebe de outrem poderes para, em seu nome, praticar atos ou administrar interesses. 

A procuração, por sua vez, é o instrumento pelo qual se expressa o mandato.

Explicando, mandato é o conteúdo e procuração é a forma.

Representação, por sua vez, pode decorrer do mandato, quando for representação convencional ou da lei, quando for representação legal, como ocorre com os pais em relação aos filhos menores impúberes.