calcule area de y= cos^6 x, de 0 ae pi

para achar a área vamos integrar no itervalo dado:

A= ∫cos^6xdx = ∫ {(1+cos2x)/2}^3dx = 1/8 ∫ (1+cos2x)^3dx = 

1/8*[ ∫ (1 + 3cos2x + 3cos^2(2x) + cos^3(2x))dx] = 

1/8*[ π + 3*-sen2x/2 + 3*∫(1+cos2x)/2dx +  ∫ cos^3(2x)dx] = 

1/8*[ π + 0 + 3/2*(π -sen2x/2) +  ∫ cos^3(2x)dx] = 

1/8*[ π + 0 + 3/2*(π -0) +  ∫ (1- sen^2(2x))*cos2xdx]=

1/8*[ π + 3π/2  +  ∫cos2xdx -  ∫sen^2(2x))*cos2xdx] =  seja u=sen2x; du=2*cos2xdx

1/8*[ π + 3π/2  -sen2x/2 - ∫u^2*du/2] = 

1/8*[ π + 3π/2 - 0 -u^3/6] = 

1/8*[ π + 3π/2 - sen^3(2x)/6] = 

1/8*[ π + 3π/2 -0] = 1/8*[ π + 3π/2] = 5π/16

Para calcular a área pedida basta integrar a função dentro dos intervalos conhecidos

\(\int_{0}^{\pi} \! cos^6(x) \, dx \)

Essa integral é bem trabalhosa para resolver na mão

Mas como dica utilize a fórmula:

\(\int \! cos^m(x) \, dx = \frac{senx*cos^{m-1}(x)}{m}+ \frac{m-1}{m}* \int \! cos^{-2+m}(x) \, dx\)

Resolvendo essa integral teremos:

\(\int_{0}^{\pi} \! cos^6(x) \, dx = \frac{5}{16}\int_{0}^{\pi} \! 1 \, dx = \frac{5 \pi}{16} \)