Demonstre que a função f(x)={x^4 sen(1/x) se x diferente de 0 e 0 se x=0 é continua em (-infinito, infinito)" como faz essa questão?

(Talvez a resposta tenha vindo tarde, mas pode ser de ajuda pra outra pessoa)

Pra mostrar que a função é contínua, o limite de f(x) quando x tender a a deverá ser igual a f(a).
No caso da questão, lim f(x) = 0; x -> 0.

Sabemos que, para qualquer valor de t, |sen t| <= 1. Isto significa que
-1 <= sen t <= 1. Fazendo t = 1/x:
-1 <= sen (1/x) <= 1. Multiplicando por x^4:
-x^4 <= x^4sen (1/x) <=x^4. Aplicando o limite em x -> 0:
lim -x^4 <= lim sen (1/x) <= lim x^4.  Os valores nos extremos da desigualdade são iguais a zero (lim -x^4 = lim x^4 = 0; x -> 0). Logo,
0 <= lim sen (1/x) <= 0. O que signfica que o valor do limite está entre 0 e 0. Logicamente, lim f(x) = 0; x -> 0.

Finalmente, como f(0) = 0 = lim f(x); x->0, a função é contínua

Para provarmos a continuidade da funçao no intervalo dado, o processo é bem simples. Primeiramente devemos analisar quais funções estao envolvidas. Temos que a função \(f(x)\) é composta por uma parte, de potenciação, uma parte trigonométrica e uma divisão. Sendo assim, vamos analisar as três separadamente:

Potenciação- temos aqui \({x^4}\)  . Nesse caso o x está sendo elevado a quarta potência e não está nem em um denominador e de fração e nem dentro de uma raiz quadrada. Sendo assim, o domínio dessa função são todos os reais e portanto x pode ter qualquer valor.

Função trigonométrica. Nessa parte temos o mesmo raciocinio da potenciação. Para a função seno, o x pode assumir qualquer valor pertencente ao conjunto de números reais

Fração- Nessa parte temos um descontinuidade. Como sabemos nenhum denominador de fração pode ser igual a zero. Sendo assim, a fração é contínua para todos os reais exceto zero. 

Agora que temos os três domínios definidos, podemos encontrar o domínio e a continuidade dessa função, analisando a interseção dos três intervalos de continuidade. Como a fração é a única que possui descontinuidade, podemos então concluir que a continuidade será de \(\left( { - \propto , + \propto } \right)\), exceto o número \(0\).