Seja f : R ! R denida por f(x) = ax3 +bx3 +cx+d, onde a > 0 e b; c; d 2 R. Prove que existem numeros reais x1 e x2 tais que f(x1) > 0 e f(x2) < 0

oi

Dizer que existem números reais tais que 

\(f(x_1) > 0\\ f(x_2) < 0\)

para uma função qualquer é o mesmo que dizer que existe uma raiz \(x_0\in\mathbb{R}\) tal que

\(x_1<x_0<x_2\) ou \(x_2<x_0<x_1\)

Ou seja, precisamos apenas provar que a função dada tem pelo menos uma raiz real. Para isso, lembremos que um polinômio de grau n tem n raízes (não necessariamente reais). Lembremos ainda que se um polinômio de coeficientes reais tem uma raiz complexa \(z\), seu conjugado complexo \(\bar{z}\) também é raiz do polinômio, de forma que um polinômio tem sempre um número par de raízes complexas. Como nossa função é um polinômio de grau ímpar, existe ao menos uma raiz real de forma que garantimos que o número de raízes complexas é par.

Provamos, portanto, que

\(\boxed{\exists(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\ |\ f(x_1)>0\ \wedge f(x_2)<0}\)