Qual a integral de ln(cos(x)) passo a passo?

I = ∫ ln(cosx). dx 

u = ln(cosx) . . . . . . . . . . . .dv = dx 
du = (-senx/cosx). dx . . . . . .v = ∫ dx 
du = -tanx. dx . . . . . .v = x 
 

Integrando por partes: 
u . v - ∫ v . du 
I = x. ln(cosx) + ∫ x. tanx. dx 

Resolveremos a integral: 
∫ x. tanx. dx 
f = x . . . . . . . . . . . . . . . .dg = ∫ tanx. dx 
df = dx . . . . . . . . . . . . . . . g = -ln(cosx) 

Integrando por partes: 
f. g - ∫ g . df 
-x. ln(cosx) + ∫ ln(cosx). dx . . . . .Pero recordemos que: I = ∫ ln(cosx). dx, entonces reemplazamos: 
-x. ln(cosx) + I 

Portanto, teremos:

I = x. ln(cosx) + ∫ x. tanx. dx 
I = x. ln(cosx) + (-x. ln(cosx) + I) 
I = x. ln(cosx) -x. ln(cosx) + I