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Encontre o centro de massa da região limitada por:

1. Encontre o centro de massa da região limitada por:
(a) pela curva y = x², as retas x = 0 e x = 1 e pelo eixo x.
(b) pelas curvas y = x² e y = 2x + 3.

💡 1 Resposta

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Fillipe Goulart

Eu vou fazer a letra a aqui. A b vai seguir a mesma ideia, só vai dar um pouco mais de trabalho.

Como você não disse nada sobre a densidade de área dessas coisas, eu vou assumir que ela é constante e igual a ρ.
Nesse caso, se você pegar um retangulozinho diferencial com lados dx e dy, sua área vai ser dA = dxdy, e a massa fica

dm = (massa vezes densidade de área) = ρdxdy

O primeiro passo então é achar a massa total dessa região, o que é feito integrando nos limites corretos. O x vai de 0 até 1, e o y está limitado entre 0 (no eixo x) e a parábola x². Assim,

m = ∫∫ ρdxdy = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{x²} ρdydx (observe que y deve ser integrado primeiro)

Como ρ é constante, ele pode sair da integral, o que dá:

m = ρ ∫_{0}^{1} (y¦_{0}^{x²}) dx
    = ρ ∫_{0}^{1} (x² - 0) dx
    = ρ ∫_{0}^{1} x²dx
    = ρ (1/3) x³ ¦_{0}^{1}
    = ρ (1/3) * (1³ - 0³)
    = ρ/3

Agora, precisamos calcular os momentos de massa em relação aos eixos x e y.
Em relação ao eixo x:

Mx = ∫∫ yρdxdy = ρ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{x²} ydy) dx
     = ρ∫_{0}^{1} (1/2) * y² ¦_{0}^{x²} dx
     = ρ/2 ∫_{0}^{1} x⁴ dx
     = ρ/2 * (1/5) * x⁵ ¦_{0}^{1}
     = ρ/10

Lembrando que isso serve para calcular o centro em relação ao eixo x, o que nós temos é a coordenada y do centro de massa:

y_c = Mx/m = (ρ/10) / (ρ/3) = 3/10

Pra acabar, calcule o momento de massa em relação ao eixo y:

My = ∫∫ xρdxdy = ρ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{x²} dy) xdx
     = ρ∫_{0}^{1} x * x² dx
     = ρ∫_{0}^{1} x³dx     = ρ * (1/4) x⁴¦_{0}^{1}
     = ρ/4

Então, a coordenada x do centro de massa será:

xc = My/m = (ρ/4) / (ρ/3) = 3/4

Assim, o centro de massa da sua região em (a) será:

xc = 3/4 e yc = 3/10

Essas contas de integração não ficam muito lindas sem um editor de fórmulas matemáticas, então eu sugiro que você as reescreva num caderno para ficar mais fácil de entender. Boa sorte na (b)!

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RD Resoluções

Para o cálculo do centro de massa, temos:

\(\vec{r}_{CM}= {\int\limits_D\vec{r}\ dA\over\int\limits_DdA}\\ \)

(a) Para esse item, separando os cáculos de cada uma das variáveis, temos:

\(\begin{align} x_{CM}&= {\int_0^1\int_0^{x^2}x\ dydx\over\int_0^1\int_0^{x^2}dydx}\\ &= {\int_0^1\left[xy\right]_{y=0}^{y=x^2}dx\over\int_0^1\left[y\right]_{y=0}^{y=x^2}dx}\\ &= {\int_0^1x^3dx\over\int_0^1x^2dx}\\ &= {\left[{1\over4}x^4\right]_0^1\over\left[{1\over3}x^3\right]_0^1}\\ &= {1/4\over1/3}\\ &={3\over4} \end{align}\)

\(\begin{align} y_{CM}&= {\int_0^1\int_0^{x^2}y\ dydx\over\int_0^1\int_0^{x^2}dydx}\\ &= {\int_0^1\left[{1\over2}y^2\right]_{y=0}^{y=x^2}dx\over1/3}\\ &= {\int_0^1{1\over2}x^4dx\over1/3}\\ &= {\left[{1\over10}x^5\right]_0^1\over1/3}\\ &= {1/10\over1/3}\\ &={3\over10} \end{align}\)

Resumindo:

\(\boxed{\vec{r}_{CM} = \left({3\over4},{3\over10}\right)}\)

(b) Para esse segundo item, temos que determinar os limites da variável externa da integral. Para isso vamos igualar as equações das duas curvas:

\(x^2=2x+3\Rightarrow x^2-2x-3=0\)

Temos que a soma das raízes é 2 e o produto -3, o que nos dá os dois valores possíveis: -1 e 3.

\(\begin{align} x_{CM}&= {\int_{-1}^3\int_{x^2}^{2x+3}x\ dydx\over\int_{-1}^3\int_{x^2}^{2x+3}dydx}\\ &= {\int_{-1}^3\left[xy\right]_{x^2}^{2x+3}dx\over\int_{-1}^3\left[y\right]_{x^2}^{2x+3}dx}\\ &= {\int_{-1}^32x^2+3x-x^3dx\over\int_{-1}^32x+3-x^2dx}\\ &= {\left[{2\over3}x^3+{3\over2}x^2-{1\over4}x^4\right]_{-1}^3\over\left[x^2+3x-{1\over3}x^3\right]_{-1}^3}\\ &= {\left[18+{27\over2}-{81\over4}\right]-\left[-{2\over3}+{3\over2}-{1\over4}\right]\over\left[9+9-9\right]-\left[1-3+{1\over3}\right]}\\ &= {18+12-20+{2\over3}\over9+2-{1\over3}}\\ &= {32/3\over32/3}\\ &= 1 \end{align}\)

\(\begin{align} y_{CM}&= {\int_{-1}^3\int_{x^2}^{2x+3}y\ dydx\over\int_{-1}^3\int_{x^2}^{2x+3}dydx}\\ &= {\int_{-1}^3\left[{1\over2}y^2\right]_{x^2}^{2x+3}dx\over32/3}\\ &= {\int_{-1}^3{1\over2}(2x+3)^2-{1\over2} x^4dx\over32/3}\\ &= {\int_{-1}^32x^2+6x+{9\over2}-{1\over2} x^4dx\over32/3}\\ &= {\left[{2\over3}x^3+3x^2+{9\over2}x-{1\over10}x^5\right]_{-1}^3\over32/3}\\ &= {\left[18+27+{27\over2}-{243\over10}\right]-\left[-{2\over3}+3-{9\over2}+{1\over10}\right]\over32/3}\\ &= {42+18-{122\over5}+{2\over3}\over32/3}\\ &= {544/15\over32/3}\\ &={17\over5} \end{align}\)

Resumindo:

\(\boxed{\vec{r}_{CM} = \left(1,{17\over5}\right)}\)

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