Vamos analisar passo a passo: As curvas dadas são: 1) \( y = x - 1 \) 2) \( y^2 = 2x + 6 \) Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração. Da segunda equação, isolamos \( x \): \[ y^2 = 2x + 6 \implies x = \frac{y^2 - 6}{2} \] Para encontrar os pontos de interseção, substituímos \( y = x - 1 \) na segunda equação: \[ (x - 1)^2 = 2x + 6 \] \[ x^2 - 2x + 1 = 2x + 6 \] \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] \[ (x - 5)(x + 1) = 0 \] \[ x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -1 \] Então, os limites de integração em \( x \) são de \(-1\) a \(5\), não de 2 a 4. Logo, o item I está incorreto. Agora, para limites em \( y \), calculamos os valores de \( y \) nos pontos de interseção: Para \( x = 5 \): \[ y = 5 - 1 = 4 \] Para \( x = -1 \): \[ y = -1 - 1 = -2 \] Então, os limites de integração em \( y \) são de \(-2\) a \(4\), o que confirma o item II como correto. Por fim, para calcular a área entre as curvas, integrando em \( y \): A área \( A \) é dada por: \[ A = \int_{y=-2}^{4} \left[ (x_{\text{direita}}) - (x_{\text{esquerda}}) \right] dy \] Aqui, \[ x_{\text{direita}} = y + 1 \quad \text{(da equação } y = x - 1 \Rightarrow x = y + 1) \] \[ x_{\text{esquerda}} = \frac{y^2 - 6}{2} \quad \text{(da equação } y^2 = 2x + 6) \] Calculando a integral: \[ A = \int_{-2}^{4} \left[ (y + 1) - \frac{y^2 - 6}{2} \right] dy = \int_{-2}^{4} \left( y + 1 - \frac{y^2}{2} + 3 \right) dy = \int_{-2}^{4} \left( -\frac{y^2}{2} + y + 4 \right) dy \] Integrando: \[ \int \left( -\frac{y^2}{2} + y + 4 \right) dy = -\frac{1}{2} \cdot \frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 4y = -\frac{y^3}{6} + \frac{y^2}{2} + 4y \] Calculando nos limites: \[ A = \left[ -\frac{y^3}{6} + \frac{y^2}{2} + 4y \right]_{-2}^{4} \] Para \( y=4 \): \[ -\frac{64}{6} + \frac{16}{2} + 16 = -\frac{64}{6} + 8 + 16 = -\frac{64}{6} + 24 = 24 - 10.\overline{6} = 13.\overline{3} \] Para \( y=-2 \): \[ -\frac{-8}{6} + \frac{4}{2} - 8 = \frac{8}{6} + 2 - 8 = \frac{4}{3} - 6 = -\frac{14}{3} = -4.\overline{6} \] Subtraindo: \[ A = 13.\overline{3} - (-4.\overline{6}) = 13.\overline{3} + 4.\overline{6} = 18 \] Portanto, o item III está correto. Conclusão: - I está incorreto (limites em \( x \) não são 2 e 4). - II está correto. - III está correto. Alternativa correta: c) II e III, apenas.