encontre o limite se existir, justifique sua resposta

Então, moça, o limite que você quer é

           1 - cos(sen(x))
  lim    -------------------
x → 0            x²

Se tentar substituir o x por 0 vai ficar, no numerador,

1 - cos(sen(0)) = 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0

e, no denominador, 0² = 0. Então, com 0 em cima e embaixo, você teria uma indeterminação.

Porém, por causa disso, dá pra aplicar o Teorema de L'Hôpital (ou L'Hôspital, cada livro escreve de um jeito), que consiste em derivar, separadamente, o numerador e o denominador e aplicar o limite novamente.

A derivada do numerador é

[1 - cos(sen(x))]' = 0 - [-sen(sen(x))*cos(x)] = sen(sen(x))*cos(x)

e do denominador é simplesmente 2x. Isso gera:

            sen(sen(x))*cos(x)
lim       -------------------------
x → 0               2x

e, de novo, se substituir o x por 0 vai ter sen(sen(0))*cos(0) = 0 no numerador e 0 no denominador de novo. Então, basta aplicar o teorema do cara que ninguém sabe o nome direito outra vez.

A derivada do numerador vai ficar (aplicando a regra do produto e regra da cadeia e tal):

[sen(sen(x))*cos(x)]' = [cos(sen(x))*cos(x)]*cos(x) + sen(sen(x))*[-cos(x)]
                                  = cos(sen(x))*cos²(x) - sen(sen(x))*cos(x)

e a do denominador é 2. O limite agora fica:

            cos(sen(x))*cos²(x) - sen(sen(x))*cos(x)
   lim    ----------------------------------------------------
x → 0                                   2

Substituindo x por 0 no numerador,

cos(sen(0))*cos²(0) - sen(sen(0))*cos(0) = cos(0)*cos²(0) - sen(0)*cos(0)
                                                                  = 1*1 - 0
                                                                  = 1

o que gera, finalmente:

            cos(sen(x))*cos²(x) - sen(sen(x))*cos(x)      1
   lim    ---------------------------------------------------- =  ---
x → 0                                   2                                     2

O limite gera indeterminação do tipo 0/0. Assim, derivamos numerador e denominador. A derivada de cos(sen(x)) é a derivada do cosseno, ou seja, oposto de seno, multiplicado pela derivada do argumento, que é cosseno. Essa é uma aplicação direta da regra da cadeia:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \cos x}{2x}\)

Perceba que o limite ainda é 0/0. Novamente derivamos:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x}{2} = \boxed{\frac{1}{2}}\)