Vamos analisar as afirmativas passo a passo: 1) "Em uma transformação linear se mantêm a adição de vetores e a multiplicação por escalar." Verdadeiro. Essa é a definição básica de transformação linear. 2) "A transformação \( T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) tal que \( T(x,y) = (x + 4y, -x) \) é uma transformação linear." Vamos verificar: - Verificar aditividade: \( T((x_1,y_1) + (x_2,y_2)) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = ((x_1 + x_2) + 4(y_1 + y_2), -(x_1 + x_2)) = (x_1 + 4y_1 + x_2 + 4y_2, -x_1 - x_2) \) - Verificar soma dos resultados: \( T(x_1,y_1) + T(x_2,y_2) = (x_1 + 4y_1, -x_1) + (x_2 + 4y_2, -x_2) = (x_1 + 4y_1 + x_2 + 4y_2, -x_1 - x_2) \) Igual, ok. - Verificar homogeneidade: \( T(c(x,y)) = T(cx, cy) = (cx + 4cy, -cx) = c(x + 4y, -x) = cT(x,y) \) Ok. Portanto, é transformação linear. Verdadeiro. 3) "Se \( T: V \to W \) é uma transformação linear, então \( T(0) = 0 \), onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W." Verdadeiro. Isso é uma propriedade fundamental de transformações lineares. Conclusão: as três afirmativas estão corretas. Alternativa correta: I, II e III.