Dizer que uma certa quantidade de substância radioativa N diminui no tempo t a uma taxa proporcional à quantidade presente inicialmente N_o significa, matematicamente, que:

\(-{dN \over dt}= \lambda N\)  (1)

onde: \(\lambda\) é a constante de proporcionalidade (taxa) e o sinal negativo indica que a quantidade de substância está diminuindo com o tempo.

Para resolver esta equação (1) para a variável N, devemos integrá-la, ou seja:

\(-{dN \over dt}= \lambda N \implies \int\limits_{N_o}^N{{1}\over{N}}dN=-\lambda \int\limits_{0}^tdt \\ \implies ln(N)-ln(N_o)=-\lambda t \implies ln(N/N_o)=-\lambda t \\ \implies {{N}\over{N_o}}=-\lambda t \implies N=e^{-\lambda t}\)

Dizer que uma certa quantidade de substância radioativa N diminui no tempo t a uma taxa proporcional à quantidade presente inicialmente N_o significa, matematicamente, que:

\(-{dN \over dt}= \lambda N\)  (1)

onde: \(\lambda\) é a constante de proporcionalidade (taxa) e o sinal negativo indica que a quantidade de substância está diminuindo com o tempo.

Para resolver esta equação (1) para a variável N, devemos integrá-la, ou seja:

\(-{dN \over dt}= \lambda N \implies \int\limits_{N_o}^N{{1}\over{N}}dN=-\lambda \int\limits_{0}^tdt \\ \implies ln(N)-ln(N_o)=-\lambda t \implies ln(N/N_o)=-\lambda t \\ \implies {{N}\over{N_o}}=-\lambda t \implies N=e^{-\lambda t}\)

Dizer que uma certa quantidade de substância radioativa m diminui no tempo t a uma taxa proporcional à quantidade presente inicialmente m_o significa, matematicamente, que:

\(-{dm \over dt}= \lambda m\)  (1)

onde: \(\lambda\) é uma constante de proporcionalidade (taxa) e o sinal negativo indica que a quantidade de substância está diminuindo com o tempo.

Para resolver esta equação (1) para a variável m devemos integrá-la, ou seja:

\(-{dm \over dt}= \lambda m \implies \int\limits_{m_o}^m{{1}\over{m}}dm=-\lambda \int\limits_{0}^tdt \\ \implies ln(m)-ln(m_o)=-\lambda t \implies ln(m/m_o)=-\lambda t \quad (2) \\ \implies {{m}\over{m_o}}=-\lambda t \implies m=m_o e^{-\lambda t} \quad (3)\)

Precisamos encontrar o valor da constante \(\lambda\). Para isso, vamos aplicar na equação (2) os dados fornecidos no problema, ou seja, que m_o=150mg e que m=0,75m_o para t=3anos, temos:

\(\lambda=-{{ln({N\over N_o})}\over {t}} \implies \lambda=-{{ln(0,75)}\over {3}}=0,096h^{-1}\)

Utilizando este valor na equação (1), temos equação para a quantidade de substância remanescente:

\(m=150e^{-0,096t}\)

Portanto, a resposta correta é fornecida no item b).