Vamos resolver passo a passo. Dados: - A = (4, -2) - B = (0, 0) - Círculo S = {P ∈ ℝ² : ⟨−−→BP, −→BA⟩ = d(P, B)²} Primeiro, vamos entender os vetores e a condição do círculo. 1) Vetor \(\overrightarrow{BA} = A - B = (4 - 0, -2 - 0) = (4, -2)\). 2) Para um ponto \(P = (x, y)\), o vetor \(\overrightarrow{BP} = (x - 0, y - 0) = (x, y)\). 3) A condição do círculo é: \[ \langle \overrightarrow{BP}, \overrightarrow{BA} \rangle = d(P, B)^2 \] onde \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) é o produto escalar e \(d(P, B)\) é a distância entre \(P\) e \(B\). Calculando: \[ \langle (x, y), (4, -2) \rangle = (x)(4) + (y)(-2) = 4x - 2y \] \[ d(P, B)^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2 \] Então a equação do círculo é: \[ 4x - 2y = x^2 + y^2 \] Reorganizando: \[ x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0 \] Agora, completamos o quadrado para encontrar a equação canônica do círculo. Para \(x\): \[ x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4 \] Para \(y\): \[ y^2 + 2y = y^2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1 \] Substituindo na equação: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5 \] Resposta (a): - Equação canônica do círculo: \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5 \] - Centro: \(C = (2, -1)\) - Raio: \(r = \sqrt{5}\) --- Resposta (b): Encontrar os pontos de interseção com os eixos coordenados. - Interseção com o eixo \(x\) (onde \(y=0\)): \[ (x - 2)^2 + (0 + 1)^2 = 5 \Rightarrow (x - 2)^2 + 1 = 5 \Rightarrow (x - 2)^2 = 4 \] \[ x - 2 = \pm 2 \Rightarrow x = 2 \pm 2 \] \[ x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 0 \] Pontos: \((4, 0)\) e \((0, 0)\) - Interseção com o eixo \(y\) (onde \(x=0\)): \[ (0 - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5 \Rightarrow 4 + (y + 1)^2 = 5 \Rightarrow (y + 1)^2 = 1 \] \[ y + 1 = \pm 1 \Rightarrow y = -1 \pm 1 \] \[ y = 0 \quad \text{ou} \quad y = -2 \] Pontos: \((0, 0)\) e \((0, -2)\) --- Resumo: - Pontos de interseção com os eixos: - Eixo \(x\): \((0, 0)\) e \((4, 0)\) - Eixo \(y\): \((0, 0)\) e \((0, -2)\) - O ponto \((0,0)\) é comum a ambos os eixos. --- Se precisar, posso ajudar a fazer o gráfico!