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A indução matemática é uma ferramenta poderosa e elegante que permite provar declarações sobre uma sequência infinita de casos. Utilizando indução matemática para mostrar que vale a proposição P(n) : 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ⋯ + 1/2^n ≤ 1, analise as afirmativas:
É correto apenas o que se afirma em:
I. Para n = 1 não é válido. De fato, a desigualdade vale somente a partir de n = 4.
II. A Hipótese de Indução nos afirma que P(k) vale para k : 2 ≤ k!
III. Na Etapa Indutiva precisamos mostrar que P(k + 1) vale para k : 2 ≤ k!
I, apenas.
II, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
I, II e III.

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Teoria dos Números Lista 5

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Ed

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Vamos analisar cada afirmativa: I. Para n = 1, a soma é 1/2 = 0,5, que é menor ou igual a 1, então a desigualdade vale para n=1. Portanto, a afirmação de que não é válido para n=1 e só vale a partir de n=4 está incorreta. II. A Hipótese de Indução geralmente assume que P(k) vale para algum k ≥ 1 (ou outro valor inicial), não necessariamente para k ≥ 2. A afirmação "P(k) vale para k : 2 ≤ k!" está incorreta, pois o símbolo "k!" (fatorial) não faz sentido nesse contexto e o intervalo está mal colocado. III. Na etapa indutiva, precisamos mostrar que P(k+1) vale assumindo que P(k) vale para algum k ≥ 1 (ou o valor inicial correto). A afirmação "para k : 2 ≤ k!" está incorreta pelo mesmo motivo do item II. Conclusão: Todos os itens contêm erros. Portanto, a alternativa correta é: nenhuma das alternativas apresentadas está correta, mas como as opções são apenas combinações dos itens, e todos estão incorretos, a resposta correta é que nenhum dos itens está correto. Como não há essa opção, a resposta correta é: nenhuma das alternativas (mas, seguindo as opções, nenhuma corresponde). Se for para escolher a alternativa que contenha apenas itens verdadeiros, a resposta é: nenhuma. Mas, como a pergunta exige uma alternativa, a resposta correta é: nenhuma das alternativas apresentadas está correta.

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Cada número inteiro encontra-se em um de dois reinos distintos: o dos números pares e o dos números ímpares. Qualquer que seja um inteiro n, considerando os números inteiros n e n + 5, é somente correto afirmar que:
Considerando os números inteiros n e n + 5, assinale a alternativa correta sobre a paridade desses números.
Os números inteiros n e n + 5 têm a mesma paridade.
Tem paridades distintas.
Os números inteiros n e n + 5 sempre são pares.
Os números inteiros n e n + 5 sempre são ímpares.
Não é possível determinar a paridade desses números.

Um divisor comum de dois números inteiros a e b é todo número inteiro d ≠ 0 de modo que d ∣ a e d ∣ b. Assim, determinando os divisores comuns de 10 e −12, obtemos:
Determine os divisores comuns de 10 e −12.
{−10, −5, −2, −1, 1, 2, 5, 10}.
{−12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}.
{−6, −5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{−2, −1, 1, 2}.
{−12, −10, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12}.

O Algoritmo da Divisão é um procedimento fundamental utilizado para dividir dois inteiros, obtendo um quociente e um resto. Determinando o quociente q e o resto r da divisão de 36 por -9, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão, obtemos:
Determine o quociente q e o resto r da divisão de 36 por -9, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão.
q = −4 e r = 4.
q = 0 e r = −4.
q = −4 e r = 9.
q = −4 e r = 0.
q = 4 e r = 0.

A relação de divisibilidade é um conceito fundamental em teoria dos números e descreve uma relação particular entre dois inteiros. Com base na Relação de Divisibilidade em Z, é somente correto afirmar que:
Analise as afirmativas sobre a relação de divisibilidade no conjunto dos números inteiros e assinale a correta.
2 ∣ 8.
8 ∣ 2.
−8 ∣ 2.
−18 ∣ 3.
2 ∤ 20.

Enquanto a sequência de números naturais é familiar para muitos, poucos param para considerar as propriedades intrínsecas que essa sequência possui. O Princípio da Boa Ordenação é uma dessas propriedades, estabelecendo um alicerce crucial na teoria dos números. Considerando o Princípio da Boa Ordenação, analise as afirmativas:
É correto apenas o que se afirma em:
I. A = {3, 5, 7, 9, ⋯} é um subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}. Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto A possui elemento mínimo, 3.
II. A = {2, 4, 8, 16, 32 ⋯} é um subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}. Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto A possui elemento mínimo, 2.
III. Z− = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0} : Conjunto dos inteiros não positivos, é um subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos Z+. Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto Z− possui elemento mínimo, 0.
III, apenas.
II, apenas.
I, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.

O conjunto dos números inteiros Z possui diversos subconjuntos relevantes. Com relação a esses subconjuntos, analise as afirmativas:
É correto apenas o que se afirma em:
I. Z+ = {x ∈ Z ∣ x ≥ 0} é o conjunto dos inteiros não negativos.
II. Z+ = {x ∈ Z ∣ x > 0} é o conjunto dos inteiros positivos.
III. Z = {x ∈ Z ∣ x ≠ 0} é o conjunto dos inteiros não nulos.
I, apenas.
II, apenas.
III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.

Embora a divisibilidade possa inicialmente parecer uma simples operação aritmética, ela carrega consigo implicações profundas em teoria dos números, criptografia, e até mesmo na música. Sobre a relação de divisibilidade no conjunto dos números inteiros, analise as afirmativas:
É correto apenas o que se afirma em:
I. O inteiro 5 divide 0, pois 0 = 0 ⋅ 5.
II. O inteiro 0 divide 8.
III. O inteiro 1 divide n, para todo n ∈ N.
I e III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
II, apenas.
I, II e III.