Vamos resolver passo a passo usando o Teorema de Euler para encontrar o resto da divisão de \(5^{2019}\) por 9. 1. Primeiro, identificamos \(n = 9\) e \(a = 5\), com \(\gcd(5,9) = 1\), então o Teorema de Euler pode ser aplicado. 2. Calculamos \(\varphi(9)\), onde \(\varphi\) é a função totiente de Euler: - Como \(9 = 3^2\), \(\varphi(9) = 9 \times (1 - \frac{1}{3}) = 9 \times \frac{2}{3} = 6\). 3. Pelo Teorema de Euler: \[ 5^{\varphi(9)} = 5^6 \equiv 1 \pmod{9} \] 4. Agora, reduzimos o expoente 2019 módulo 6: \[ 2019 \mod 6 = 2019 - 6 \times 336 = 2019 - 2016 = 3 \] 5. Portanto: \[ 5^{2019} \equiv 5^3 \pmod{9} \] 6. Calculamos \(5^3 = 125\). Agora, calculamos \(125 \mod 9\): \[ 125 \div 9 = 13 \text{ (quociente) } \Rightarrow 9 \times 13 = 117 \] \[ 125 - 117 = 8 \] 7. Logo, o resto da divisão de \(5^{2019}\) por 9 é 8. Resposta correta: 8.