Vamos resolver passo a passo usando o Teorema de Wilson. O Teorema de Wilson diz que, para um número primo p: \[ (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} \] Aqui, p = 71 (que é primo), então: \[ 70! \equiv -1 \pmod{71} \] Queremos encontrar o resto da divisão de 65! por 71. Note que: \[ 70! = 70 \times 69 \times 68 \times 67 \times 66 \times 65! \] Logo: \[ 70! \equiv 70 \times 69 \times 68 \times 67 \times 66 \times 65! \pmod{71} \] Calculando os equivalentes módulo 71: - 70 ≡ -1 (mod 71) - 69 ≡ -2 (mod 71) - 68 ≡ -3 (mod 71) - 67 ≡ -4 (mod 71) - 66 ≡ -5 (mod 71) Multiplicando esses valores: \[ (-1) \times (-2) \times (-3) \times (-4) \times (-5) = (-1)^5 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5) = -120 \] Agora, 120 mod 71: \[ 120 - 71 = 49 \] Então: \[ -120 \equiv -49 \equiv 71 - 49 = 22 \pmod{71} \] Portanto: \[ 70! \equiv 22 \times 65! \pmod{71} \] Mas sabemos que: \[ 70! \equiv -1 \equiv 70 \pmod{71} \] Logo: \[ 22 \times 65! \equiv 70 \pmod{71} \] Para encontrar 65!, multiplicamos ambos os lados pelo inverso multiplicativo de 22 mod 71. Calculando o inverso de 22 mod 71: Usando o algoritmo de Euclides estendido, o inverso de 22 mod 71 é 61, pois: \[ 22 \times 61 = 1342 \equiv 1 \pmod{71} \] Multiplicando ambos os lados por 61: \[ 65! \equiv 70 \times 61 \pmod{71} \] Calculando: \[ 70 \times 61 = 4270 \] Agora, 4270 mod 71: \[ 71 \times 60 = 4260 \] \[ 4270 - 4260 = 10 \] Portanto: \[ 65! \equiv 10 \pmod{71} \] Nenhuma das opções dadas é 10, então vamos revisar o cálculo do produto dos números negativos. Revisando o produto: \[ (-1) \times (-2) \times (-3) \times (-4) \times (-5) = (-1)^5 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5) = -120 \] -120 mod 71: \[ -120 + 2 \times 71 = -120 + 142 = 22 \] Está correto. Então: \[ 22 \times 65! \equiv 70 \pmod{71} \] \[ 65! \equiv 70 \times 22^{-1} \pmod{71} \] Inverso de 22 mod 71 é 61, como calculado. Logo: \[ 65! \equiv 70 \times 61 = 4270 \equiv 10 \pmod{71} \] Como 10 não está entre as opções, pode haver um erro na interpretação. Alternativamente, podemos tentar calcular o inverso de 22 novamente. Vamos verificar o inverso de 22 mod 71: Usando o algoritmo de Euclides estendido: - 71 = 3 × 22 + 5 - 22 = 4 × 5 + 2 - 5 = 2 × 2 + 1 - 2 = 2 × 1 + 0 Agora, voltando: 1 = 5 - 2 × 2 2 = 22 - 4 × 5 Substituindo: 1 = 5 - 2 × (22 - 4 × 5) = 5 - 2 × 22 + 8 × 5 = 9 × 5 - 2 × 22 5 = 71 - 3 × 22 Substituindo: 1 = 9 × (71 - 3 × 22) - 2 × 22 = 9 × 71 - 27 × 22 - 2 × 22 = 9 × 71 - 29 × 22 Portanto: \[ -29 \times 22 \equiv 1 \pmod{71} \] Como -29 mod 71 = 71 - 29 = 42, o inverso de 22 mod 71 é 42. Agora, calculando 65!: \[ 65! \equiv 70 \times 42 = 2940 \pmod{71} \] Calculando 2940 mod 71: \[ 71 \times 41 = 2911 \] \[ 2940 - 2911 = 29 \] Portanto: \[ 65! \equiv 29 \pmod{71} \] Resposta correta: 29 --- Resposta final: 29