Através do Teorema de Euler é possível determinar o resto de divisões. Marque a alternativa que indica o resto da divisão de 8^405 por 9. 5 6 7 8 9

Vamos resolver passo a passo usando o Teorema de Euler: 1. O Teorema de Euler diz que, para dois números inteiros a e n que são coprimos (ou seja, seu máximo divisor comum é 1), vale: a^φ(n) ≡ 1 (mod n), onde φ(n) é a função totiente de Euler, que conta quantos números menores que n são coprimos com n. 2. Aqui, queremos calcular o resto da divisão de 8^405 por 9. 3. Primeiro, verificamos se 8 e 9 são coprimos: - MDC(8,9) = 1, então são coprimos. 4. Calculamos φ(9): - 9 = 3^2, - φ(9) = 9 × (1 - 1/3) = 9 × (2/3) = 6. 5. Pelo Teorema de Euler: 8^6 ≡ 1 (mod 9). 6. Agora, escrevemos 405 em função de 6: 405 = 6 × 67 + 3. 7. Então: 8^405 = 8^{6×67 + 3} = (8^6)^67 × 8^3 ≡ 1^{67} × 8^3 ≡ 8^3 (mod 9). 8. Calculamos 8^3 mod 9: 8^3 = 512. 9. Agora, 512 mod 9: 9 × 56 = 504, resto 512 - 504 = 8. Portanto, o resto da divisão de 8^405 por 9 é 8. Resposta correta: 8.