Seja f uma função par e contínua em [-r,r], r>0. Mostre que ∫f(x)dx (com x variando de -r a r) é = 2*∫f(x)dx (com x variando de 0 a r)

Em uma integral, quando é definida de  [a,b] normalmente vc usaria  

∫f(b)dx-∫f(a)dx

assim analizando que o conjunto está definido em [-r,r], ou seja, ∫f(r)dx-∫f(-r)dx e a integral de uma função par é uma função impar( em quase todos os casos se eu não me engano,ex. ∫(x^2)=(x^3)/3),caracteriza-se por função impar a seguinta afirmação f(-x)=-f(x), logo:

∫f(r)dx-∫[-f(r)]dx, e como ∫-f(x)dx=-∫f(x)dx, temos:

∫f(r)-[-∫f(r)]=∫f(r)+∫f(r)=2*∫f(r)dx

Uma função par é aquela que segue a seguinte propriedade:

\(f(-x)=f(x)\)

Partindo da primeira integral, temos:

\(I=\int_{-r}^rf(x)\ dx=\int_{-r}^0f(x)\ dx+\int_0^rf(x)\ dx\)

Fazendo \(u=-x\Rightarrow du=-dx\) na primeira integral, temos:

\(I=-\int_r^0f(-u)\ du+\int_0^rf(x)\ dx\)

Pela paridade da função, podemos transformar  primeira integral:

\(I=-\int_r^0f(u)\ du+\int_0^rf(x)\ dx\)

Usando o sinal negativo da primeira integral, podemos inverter os limites:

\(I=\int_0^rf(u)\ du+\int_0^rf(x)\ dx\)

A menos do nome da variável, as duas integrais são iguais, portanto resultam no mesmo valor:

\(\boxed{I=2\int_0^rf(x)\ dx}\)

Como queríamos demonstrar.