Código da questão: 53013 Em cálculo, um problema de valor inicial (ou problema de Cauchy) é uma equação diferencial, tal que a mesma é determinada com O valor da função objetivo em certo ponto, denominado valor inicial. Dessa forma, é possível selecionar uma única equação dentro de uma família de equações. Considerando O texto apresentado e O conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação dy/dx = x/y, com um valor inicial de y(4) =3, calcule a solução considerando O valor inicial. Avalie as afirmativas a seguir: A A solução para a equação é y = x² 25 B A solução para a equação é y² + x² = 25 C A solução para a equação é y = -X² 5 D A solução para a equação éy=x²-5 E A solução para a equação éy²+x²=5

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Código da questão: 53013 Em cálculo, um problema de valor inicial (ou problema de Cauchy) é uma equação diferencial, tal que a mesma é determinada ...

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo a equação diferencial dada:

Equação: dy/dx = x / y  
Valor inicial: y(4) = 3

1. Separe as variáveis:  
y dy = x dx

2. Integre ambos os lados:  
∫ y dy = ∫ x dx  
(1/2) y² = (1/2) x² + C

Multiplicando ambos os lados por 2:  
y² = x² + C'

3. Use o valor inicial para encontrar C':  
Quando x = 4, y = 3  
3² = 4² + C'  
9 = 16 + C'  
C' = 9 - 16 = -7

4. Substitua C' na equação:  
y² = x² - 7

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) y = x² - 25 → não corresponde  
B) y² + x² = 25 → não corresponde  
C) y = -x² / 5 → não corresponde  
D) y = x² - 5 → não corresponde  
E) y² + x² = 5 → não corresponde

Nenhuma alternativa corresponde exatamente a y² = x² - 7.

Mas observe que a alternativa B é y² + x² = 25, que pode ser rearranjada para y² = 25 - x², diferente da nossa solução.

A alternativa E é y² + x² = 5, que também não corresponde.

Nenhuma alternativa está correta com base no cálculo.

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