Vamos analisar cada afirmativa passo a passo: 1) Derivada de \( f(x,y) = x^2 y + x^3 y^2 + 4y + 1 \) em relação a \( x \): - Derivando termo a termo, considerando \( y \) constante: - \( \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2x y \) - \( \frac{\partial}{\partial x}(x^3 y^2) = 3x^2 y^2 \) - \( \frac{\partial}{\partial x}(4y) = 0 \) (pois \( y \) é constante) - \( \frac{\partial}{\partial x}(1) = 0 \) Logo, \( f_x(x,y) = 2xy + 3x^2 y^2 \). A afirmativa é verdadeira (V). 2) Derivada de \( f(x,y) = x^2 y + x^3 y^2 + 4y + 1 \) em relação a \( y \): - Derivando termo a termo, considerando \( x \) constante: - \( \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2 \) - \( \frac{\partial}{\partial y}(x^3 y^2) = x^3 \cdot 2y = 2x^3 y \) - \( \frac{\partial}{\partial y}(4y) = 4 \) - \( \frac{\partial}{\partial y}(1) = 0 \) Logo, \( f_y(x,y) = x^2 + 2x^3 y + 4 \). A afirmativa dada é \( f_y(x,y) = x^2 + 2x^3 y \), que está incompleta, pois falta o termo 4. Portanto, é falsa (F). 3) Derivada de \( f(x,y) = \sin(xy) \) em relação a \( x \): - Usando regra da cadeia: - \( f_x = \cos(xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = \cos(xy) \cdot y \) A afirmativa diz que \( f_x = \cos(xy) \), sem multiplicar por \( y \), então é falsa (F). 4) Derivada de \( f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 \) em relação a \( y \): - Usando regra da cadeia: - \( f_y = 2(x^2 + y^2) \cdot 2y = 4y (x^2 + y^2) \) A afirmativa é verdadeira (V). Sequência correta: V, F, F, V. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente a essa sequência. A alternativa D está incompleta, mas parece ser a que mais se aproxima: "V, F, F,". Como a questão está incompleta na alternativa D, você tem que criar uma nova pergunta com as alternativas completas para que eu possa ajudar melhor.