Se f (x) é periódica de período T, prove que 3T também é período de f. Podem me ajudar?

Então, eu pensaria da seguinte forma:

Dizer que f(x) é periódica com período T significa que

f(x + T) = f(x), para qualquer x.

Então, pegue f(x + 3T), e escreva como f((x + 2T) + T). Agora, se você pensar no termo (x + 2T) como o x que eu escrevi acima, dá pra escrever:

f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T)

Já dá pra ver aonde eu quero chegar? Se escrever agora f(x + 2T) como f((x + T) + T), vai ver que

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T)

E, da definição, f(x + T) = f(x). Portanto, combinando tudo,

f(x + 3T) = f(x + 2T) = f(x + T) = f(x) e, portanto, ela também é periódica com periódo 3T.

Na verdade, a gente provou foi que ela é periódica tanto com período 3T, como 2T também. Dá pra ir bem além e usar recursão para provar que nT, com n = 1, 2, 3, 4... é também um período de f(x).

A definição de função periódica envolve a identidade \(f(x) = f(x+T)\), onde \(T\) é o período.

Dessa forma, recorrentemente, podemos escrever:

\(f(x+T) = f(x+T+T) = f(x+2T) \\ f(x+2T) = f(x+2T+T) = f(x+3T) \\\)

Portanto, como \(f(x+T) = f(x+3T)\) e \(f(x) = f(x+T)\), por transitividade:

\(\boxed{f(x) = f(x+3T) \to \text{3T é período}}\)