Vamos analisar cada alternativa: a) "O diretor mandou eu entrar na sala." Errado. O verbo "mandar" exige que o pronome esteja no caso oblíquo: "mandou mim entrar" ou melhor, "mandou que eu entrasse". b) "Preciso falar consigo o mais rápido possível." Errado. "Consigo" é usado para terceira pessoa com preposição "com". Para segunda pessoa, o correto é "contigo". c) "Cumprimentei-lhe assim que cheguei." Errado. O pronome "lhe" é usado para objetos indiretos, mas o verbo "cumprimentar" exige objeto direto. O correto seria "Cumprimentei-o". d) "Ele só sabe elogiar a si mesmo." Correto. O uso do pronome reflexivo "a si mesmo" está adequado para reforçar que ele elogia a ele próprio. e) "Após a prova, os candidatos conversaram entre eles." Embora comum, o uso de "entre eles" é redundante, pois "conversar" já implica reciprocidade. Mas não está incorreto segundo a norma culta. Portanto, a alternativa correta é: d) Ele só sabe elogiar a si mesmo.