Vamos resolver o problema passo a passo. Variáveis: - \( x \) = número de pães produzidos - \( y \) = número de bolos produzidos Dados: - Farinha disponível: 40 kg = 40.000 gramas - Mão de obra disponível: 50 horas = 3.000 minutos Consumo por unidade: - Pão: 600 g farinha, 60 min mão de obra, lucro R$ 4,00 - Bolo: 450 g farinha, 40 min mão de obra, lucro R$ 5,00 Restrições: 1) Farinha: \( 600x + 450y \leq 40.000 \) 2) Mão de obra: \( 60x + 40y \leq 3.000 \) 3) \( x \geq 0, y \geq 0 \) Função objetivo (lucro): Maximizar \( L = 4x + 5y \) --- Passo 1: Restrições em forma de igualdade para encontrar pontos extremos 1) \( 600x + 450y = 40.000 \) 2) \( 60x + 40y = 3.000 \) --- Passo 2: Simplificar as equações 1) Dividir por 50: \( 12x + 9y = 800 \) 2) Dividir por 20: \( 3x + 2y = 150 \) --- Passo 3: Encontrar interseção das duas restrições Multiplicar a segunda por 3: \( 9x + 6y = 450 \) Multiplicar a primeira por 2: \( 24x + 18y = 1600 \) Agora, multiplicar a segunda por 3 e subtrair da primeira: \( 24x + 18y = 1600 \) \( 27x + 18y = 1350 \) (multiplicando a segunda por 6) Subtraindo: \( (24x - 27x) + (18y - 18y) = 1600 - 1350 \) \( -3x = 250 \Rightarrow x = -\frac{250}{3} \) (negativo, não faz sentido) Vamos tentar outro método: resolver o sistema original. Da segunda equação: \( 3x + 2y = 150 \Rightarrow 2y = 150 - 3x \Rightarrow y = \frac{150 - 3x}{2} \) Substituir na primeira: \( 12x + 9 \times \frac{150 - 3x}{2} = 800 \) \( 12x + \frac{9 \times 150 - 9 \times 3x}{2} = 800 \) \( 12x + \frac{1350 - 27x}{2} = 800 \) Multiplicar tudo por 2: \( 24x + 1350 - 27x = 1600 \) \( -3x + 1350 = 1600 \) \( -3x = 250 \Rightarrow x = -\frac{250}{3} \) (negativo, impossível) --- Passo 4: Verificar pontos extremos nos eixos - Quando \( x=0 \): Farinha: \( 450y \leq 40.000 \Rightarrow y \leq \frac{40.000}{450} \approx 88,89 \) Mão de obra: \( 40y \leq 3.000 \Rightarrow y \leq 75 \) Logo, \( y \leq 75 \) (restrição mais forte) - Quando \( y=0 \): Farinha: \( 600x \leq 40.000 \Rightarrow x \leq \frac{40.000}{600} \approx 66,67 \) Mão de obra: \( 60x \leq 3.000 \Rightarrow x \leq 50 \) Logo, \( x \leq 50 \) (restrição mais forte) --- Passo 5: Testar pontos extremos para maximizar lucro - \( (x=0, y=75) \Rightarrow L = 4(0) + 5(75) = 375 \) - \( (x=50, y=0) \Rightarrow L = 4(50) + 5(0) = 200 \) --- Passo 6: Testar combinação que usa toda a mão de obra \( 60x + 40y = 3.000 \Rightarrow 3x + 2y = 150 \) Expressar \( y \): \( y = \frac{150 - 3x}{2} \) Verificar farinha: \( 600x + 450y \leq 40.000 \) Substituir \( y \): \( 600x + 450 \times \frac{150 - 3x}{2} \leq 40.000 \) \( 600x + 225 \times (150 - 3x) \leq 40.000 \) \( 600x + 33.750 - 675x \leq 40.000 \) \( -75x + 33.750 \leq 40.000 \) \( -75x \leq 6.250 \Rightarrow x \geq -\frac{6.250}{75} \) (sempre verdadeiro para \( x \geq 0 \)) Logo, a restrição de farinha não limita para \( x \geq 0 \). --- Passo 7: Maximizar lucro na linha \( 3x + 2y = 150 \) Lucro: \( L = 4x + 5y \) Substituir \( y \): \( L = 4x + 5 \times \frac{150 - 3x}{2} = 4x + \frac{750 - 15x}{2} = 4x + 375 - 7,5x = 375 - 3,5x \) Para maximizar \( L \), minimizar \( x \). Como \( x \geq 0 \), o máximo lucro ocorre em \( x=0 \), \( y=75 \), lucro = 375. --- Resposta correta: Produzir 0 pães e 75 bolos. Nenhuma das alternativas apresenta exatamente essa resposta, mas a alternativa que mais se aproxima é: C) 49 75 bolos (provavelmente um erro de digitação, mas indica 75 bolos) Se for para escolher a alternativa correta, é a C) 49 75 bolos (considerando que o correto seria 0 pães e 75 bolos). --- Resumo: - Produzir 0 pães e 75 bolos maximiza o lucro. - Lucro máximo = R$ 375,00.