Então, pode até parecer que o limite não existe porque você tem um 0 em cima e embaixo, mas isso só diz que ele seria indeterminado, não que não exista.

Na verdade, ele existe e vale -8. Para ver isso, o limite que você deseja é

                     x² - 4
lim       -------------------------
x → 2   √(x + 2) - √(3x - 2)

Comece racionalizando o denominador, quer dizer, multiplicando em cima e embaixo por √(x + 2) + √(3x - 2):

                    x² - 4                     √(x + 2) + √(3x - 2)
lim       -------------------------  *  ---------------------------  = 
x → 2   √(x + 2) - √(3x - 2)        √(x + 2) + √(3x - 2)

             (x² - 4) * [√(x + 2) + √(3x - 2)]       
lim       -----------------------------------------  = 
x → 2                (x + 2) - (3x - 2)

             (x² - 4) * [√(x + 2) + √(3x - 2)]       
lim       -----------------------------------------
x → 2                      -2x + 4

Se você fizer o x = 2 aqui, de novo vai chegar num 0 em cima e embaixo. Porém, você pode escrever o termo (x² - 4) no numerador como (x + 2) * (x - 2), e o denominador como -2(x - 2). Fazendo isso, o limite fica

             (x + 2) * (x - 2) * [√(x + 2) + √(3x - 2)]       
lim       ----------------------------------------------------
x → 2                            -2(x - 2)

Agora fica tudo lindo, porque você pode cortar o (x - 2) em cima e embaixo, restando:

             (x + 2) * [√(x + 2) + √(3x - 2)]       
lim       -----------------------------------------
x → 2                           -2

E, por fim, fazendo agora o x = 2,

             (x + 2) * [√(x + 2) + √(3x - 2)]      4 * (2 + 2)  
lim       ----------------------------------------- = -------------- = -8,
x → 2                           -2                                   -2

como eu disse no início.

Como acaba zerando na parte inferior e superior.... o limite não existe no ponto 2...