Como resolvo essa equação matricial

\( \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix} 3 \\ 8 \\ 11 \end{bmatrix}\)

Para obtermos os valores da matriz \(X\) podemos substituí-la por um vetor com 3 variáveis e transformar as multiplicações em um sistema com 3 equações. Primeiro vamos substituir o X por um vetor contendo as variáves \(a\), \(b\) e \(c\) que representam os valores da matriz X:

\( \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 8 \\ 11 \end{bmatrix}\)

Agora podemos realizar a multiplicação da matriz \(A\) pelo vetor \(X\). Começamos os cálculos pela primeira linha da matriz \(A\) e igualamos ao primeiro elemento do vetor resultante \(B\). Seguimos sequencialmente.

\(1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c = 3\)

\(2 \cdot a + 1 \cdot b + 0 \cdot c = 8\)

\(1 \cdot a + 3 \cdot b + 2 \cdot c = 11\)

Realizando a múltiplicação da matriz \(A\) pelo vetor \(X\) nós nos deparamos com o conjunto de equações apresentadas acima. Com esse conjunto de equações nós podemos montar um sistema linear e ir resolvendo por partes.

\(\begin{cases} 1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c = 3 \\2 \cdot a + 1 \cdot b + 0 \cdot c = 8 \\1 \cdot a + 3 \cdot b + 2 \cdot c = 11 \end{cases}\)

A primeira equação já nos permite obter o valor da variável \(a\):

\(1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c = 3\)

\(a + 0 + 0 = 3\)

\(a = 3\)

Utilizando o valor obtido de \(a\) na segunda equação, podemos obter o valor de \(b\):

\(2 \cdot a + 1 \cdot b + 0 \cdot c = 8\)

\(2 \cdot 3 + 1 \cdot b + 0 \cdot c = 8\)

\(6 + b + 0 = 8\)

\(b= 8 - 6\)

\(b= 2\)

Agora que temos os valores de \(a\) e de \(b\) podemos substituir os seus valores na terceira equação do sistema para obter o valor de \(c \):

\(1 \cdot a + 3 \cdot b + 2 \cdot c = 11\)

\(1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot c = 11\)

\(3 + 6 + 2 c = 11\)

\(9 + 2 c = 11\)

\(2 c = 11 - 9\)

\(2 c = 2 \)

\(c = \frac{2}{2}\)

\(c = 1\)

Realizando a multiplicação da matriz \(A\) pelo vetor \(X\) nós obtemos o vetor \(B\). Para descobrirmos os valores contidos no vetor \(X\) nós precisamos realizar as multiplicações deixandos os valores como variáveis, assim obteremos um sistema de equações lineares que pode ser facilmente resolvido utilizando substituições. Ao fim dos cálculos substituimos os valores das variáveis dentro do vetor \(X\) e temos o nosso resultado.

\(\boxed { X = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}}\)