Vamos resolver passo a passo a decomposição em frações parciais da integral: Integral dada: \[ \int \frac{2x + 4}{x^3 - x} \, dx \] Primeiro, fatoramos o denominador: \[ x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) \] Queremos decompor: \[ \frac{2x + 4}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1} \] Multiplicando ambos os lados por \(x(x-1)(x+1)\): \[ 2x + 4 = A(x - 1)(x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 1) \] Expandindo: \[ 2x + 4 = A(x^2 - 1) + B x (x + 1) + C x (x - 1) \] \[ 2x + 4 = A x^2 - A + B x^2 + B x + C x^2 - C x \] Agrupando termos: \[ 2x + 4 = (A + B + C) x^2 + (B - C) x - A \] Agora, igualamos os coeficientes dos dois lados da igualdade: - Coeficiente de \(x^2\): \(0 = A + B + C\) - Coeficiente de \(x\): \(2 = B - C\) - Termo constante: \(4 = -A\) → \(A = -4\) Substituindo \(A = -4\) na primeira equação: \[ 0 = -4 + B + C \implies B + C = 4 \] Temos o sistema: \[ \begin{cases} B + C = 4 \\ B - C = 2 \end{cases} \] Somando as duas equações: \[ 2B = 6 \implies B = 3 \] Substituindo \(B=3\) em \(B + C = 4\): \[ 3 + C = 4 \implies C = 1 \] Portanto: \[ A = -4, \quad B = 3, \quad C = 1 \] A integral fica: \[ \int \frac{2x + 4}{x^3 - x} dx = \int \left( \frac{-4}{x} + \frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} \right) dx \] \[ = -4 \ln|x| + 3 \ln|x - 1| + \ln|x + 1| + k \] Resposta correta: a) A = −4, B = 3, C = 1; resultado: −4 ln|x| + 3 ln|x − 1| + ln|x + 1|