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qual a região limitada pelas equações e encontre o valor de sua área. y=x^2 - 3x , x=1, y=4


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Achando a interseção entre as parábolas:

x = y²  e  x = 2y² – 4

x = 2x – 4

2x – x = 4

x = 4

4 = y²

y = ± 2

Os pontos de interseção são (– 2,  4) e (2,  4).


•  Extremos de integração:

   y varia em extremos fixos:     – 2 ≤ y ≤ 2;

   x varia entre duas funções de y:    2y² – 4 ≤ x ≤ y².

A área é dada por

A=\displaystyle\iint_D\!1\,dA\\\\\\ =\int_{-2}^2\int_{2y^2-4}^{y^2}\!1\,dx\,dy\\\\\\ =\int_{-2}^2 x\big|_{2y^2-4}^{y^2}\,dy\\\\\\ =\int_{-2}^2 \big(y^2-(2y^2-4)\big)\,dy\\\\\\ =\int_{-2}^2 (-y^2+4)\,dy

Temos uma função par de y a ser integrada sobre um intervalo simétrico. Logo, a integral acima fica

=\displaystyle 2\int_0^2 (-y^2+4)\,dy\\\\\\ =2\left(-\frac{y^3}{3}+4y \right )\bigg|_0^2\\\\\\ =2\cdot \left(-\frac{2^3}{3}+4\cdot 2 \right )\\\\\\ =2\cdot \left(-\frac{8}{3}+8 \right )\\\\\\ =2\cdot \frac{16}{3}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{32}{3}\mathrm{~u.a.}\end{array}}~~~~\checkmark

Achando a interseção entre as parábolas:

x = y²  e  x = 2y² – 4

x = 2x – 4

2x – x = 4

x = 4

4 = y²

y = ± 2

Os pontos de interseção são (– 2,  4) e (2,  4).


•  Extremos de integração:

   y varia em extremos fixos:     – 2 ≤ y ≤ 2;

   x varia entre duas funções de y:    2y² – 4 ≤ x ≤ y².

A área é dada por

A=\displaystyle\iint_D\!1\,dA\\\\\\ =\int_{-2}^2\int_{2y^2-4}^{y^2}\!1\,dx\,dy\\\\\\ =\int_{-2}^2 x\big|_{2y^2-4}^{y^2}\,dy\\\\\\ =\int_{-2}^2 \big(y^2-(2y^2-4)\big)\,dy\\\\\\ =\int_{-2}^2 (-y^2+4)\,dy

Temos uma função par de y a ser integrada sobre um intervalo simétrico. Logo, a integral acima fica

=\displaystyle 2\int_0^2 (-y^2+4)\,dy\\\\\\ =2\left(-\frac{y^3}{3}+4y \right )\bigg|_0^2\\\\\\ =2\cdot \left(-\frac{2^3}{3}+4\cdot 2 \right )\\\\\\ =2\cdot \left(-\frac{8}{3}+8 \right )\\\\\\ =2\cdot \frac{16}{3}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{32}{3}\mathrm{~u.a.}\end{array}}~~~~\checkmark

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Filippe Machado

Há mais de um mês

A Região limitada pelas equações será:

__________________________________   y = 4

       \                 |x = 0  |  x = 1

          \              |          |

             \           |          |

                \        |          |

                  \      |          |

                     \   |          |

_____________\ |______|____________ y = 0

                         |\          |

                         | \         |

                         |  \        |

                         |    \      |

                         |     \     |

                         |        \  | y = -2  & x = 1

 

Uma curva y = x² -3x limitada no eixo x pela reta x = 1  (onde y = -2) e limitada no eixo y = 4 (onde x = -1).

Vendo a região como do tipo I, calculamos a integral dupla de: 

∫ ∫ 1 dydx           onde  -1 ≤ x ≤ 1      e  x² - 3x ≤ y ≤ 4.

Calculando a integral, o resultado será: 19/3 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas