calculo de area : integral de x^4 - 2x^2 + 4x + 1 / x^3 - x^2 - x + 1 dx alguem que possa resolver

qual intervalo?

Apesar de faltar os parenteses, a integral provavelmente é da seguinte função:

\(I =\int {x^4 - 2x^2 + 4x + 1 \over x^3 - x^2 - x + 1}\ dx=\int {N(x) \over D(x)}\ dx\)

Inicialmente vamos dividir o numerador pelo denominador:

\(\begin{align} N(x) &= x^4-2x^2+4x+1\\ &= x(x^3-x^2-x+1)+x^3-x^2+3x+1\\ &= x(x^3-x^2-x+1)+(x^3-x^2-x+1)+4x\\ &= (x+1)(x^3-x^2-x+1)+4x\\ &= (x+1)D(x)+4x \end{align}\)

Substituindo na integral, temos:

\(I =\int {N(x) \over D(x)}\ dx=\int {(x+1)D(x)+4x \over D(x)}\ dx=\int x+1+{4x \over D(x)}\ dx=\int x+1+{4x \over x^3 - x^2 - x + 1}\ dx=\int x+1\ dx+\int {4x \over x^3 - x^2 - x + 1}\ dx=I_1+I_2\)

Para a primeira integral, temos:

\(I_1 = \int x+1\ dx = {1\over2}x^2+x+C_1\)

Substituindo na integral, temos:

\(I ={1\over2}x^2+x+C_1+I_2\)

Perceba que 1 é raiz do denominador, de forma que o podemos fatorar:

\(D(x) = x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^2-1)\)

Fatorando o segundo fator por diferença de quadrados, temos:

\(D(x) =(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)\)

Reescrevendo a segunda integral, temos:

\(I_2=\int {4x\over (x-1)^2(x+1)}\ dx\)

Usando o método de decomposição em frações parciais, temos:

\({4x\over (x-1)^2(x+1)} \equiv {A\over x-1}+{B\over(x-1)^2}+{C\over x+1}\)

Resolvendo a identidades nas variáveis A, B e C, temos:

\(\begin{align} 4x &\equiv A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^2\\ 0x^2+4x+0 &\equiv A(x^2-1)+B(x+1)+C(x^2-2x+1)\\ 0x^2+4x+0 &\equiv (A+C)x^2+(B-2C)x-(A-B-C)\\ \end{align}\)

A identidade nos dá o seguinte sistema de equações:

\(\left\{\begin{align} A+C&=0\\ B-2C&=4\\ A-B-C&=0 \end{align}\right.\)

Sendo \(L_i\) a i-ésima linha, façamos \(L_1+L_2-L_3\):

\((A+C)+(B-2C)-(A-B-C)=0+4+0\Rightarrow 2B=4\Rightarrow B=2\)

Substituindo na segunda equação, temos:

\(2-2C=4\Rightarrow C=-1\)

Substituindo na primeira equação, temos:

\(A-1=0\Rightarrow A=1\)

Reescrevendo a integral, temos:

\(I_2=\int {1\over x-1}+{2\over(x-1)^2}-{1\over x+1}\ dx=\int {1\over x-1}\ dx+\int{2\over(x-1)^2}\ dx-\int{1\over x+1}\ dx\)

Fazendo \(y = x-1\Rightarrow dy=dx\) e \(z = x+1\Rightarrow dz=dx\), temos:

\(I_2=\int {1\over y}\ dy+\int{2\over y^2}\ dy-\int{1\over z}\ dz=\ln y-{2\over y}-\ln z+C_2\)

Voltando para as variáveis originais, temos:

\(I_2=\ln (x-1)-{2\over x-1}-\ln (x+1)+C_2\)

Juntando com a primeira integral, temos:

\(I ={1\over2}x^2+x+C_1+\ln (x-1)-{2\over x-1}-\ln (x+1)+C_2\)

Finalmente, fazendo \(C=C_1+C_2\), temos:

\(\boxed{\int {x^4 - 2x^2 + 4x + 1 \over x^3 - x^2 - x + 1}\ dx ={1\over2}x^2+x+\ln\left({x-1\over x+1}\right)-{2\over x-1}+C}\)