Mostre que , obedecendo as condições de exitência ; lim (x->0) [e^ax - e^bx / sen(ax) - sen(bx)] = 1

Caso do limite é 0/0, então usamos a regra de L'Hôpital, que consiste em derivar numerador e denominador:

Lim {(a*e^ax) - (b*e^bx)}/[senax -senbx] = lim {(a*e^ax) - (b*e^bx)}/[a*cosax -b*cosbx] ;

quando x tende a zero:

lim (a-b)/[a-b] = 1

Como nós temos uma indeterminação do tipo 0/0 vamos aplicar L'hospital:

Seja: \(\lim _{x\to \:0}\left(\frac{e^{ax}-e^{bx}}{\ sen \left(ax\right)-\ sen \left(bx\right)}\right)\)

Derivando em cima e embaixo:

\(\frac{d}{dx}(e^{ax}-e^{bx})=(a.e^{ax}-b.e^{bx})\)

\(\frac{d}{dx}(sen{(ax)}-sen{(bx)})=a.cos(ax)-bcos(bx)\)

Assim:

\(\lim _{x\to \:0}\left(\frac{e^{ax}-e^{bx}}{\ sen \left(ax\right)-\ sen \left(bx\right)}\right)=\lim _{x\to \:0}\left(\frac{e^{ax}a-e^{bx}b}{\cos \left(ax\right)a-\cos \left(bx\right)b}\right)\)

Aplicando o valor:

\(\boxed{\lim _{x\to \:0}\left(\frac{e^{ax}a-e^{bx}b}{\cos \left(ax\right)a-\cos \left(bx\right)b}\right)=\frac{e^{a\cdot \:0}a-e^{b\cdot \:0}b}{\cos \left(a\cdot \:0\right)a-\cos \left(b\cdot \:0\right)b}=\frac{a-b}{a-b}=1}\)