Qual é a condição sobre a,b,c e d para que os vetores u = (a,b) e v = (c,d) formem uma base do R^2?

Para que seja base tem que obedecer duas regras :

1 - Tem que ser um conjunto gerador                                      [u,v] = R² => (x,y) = p * u + q * v

2 - Tem que ser linearmente Independente                              {u,v} é L.I. <=>  p * u + q * v = (0,0)

(x,y) = p * (a,b) + q * (c,d) =>     p*a + q*c = x 

                                                   p*b + q*d = y 

Esse sistema deve ser Compatível Determinado, para isso o Determinante dos parâmetros deve ser diferente de zero

      | a    c  |    ≠  0 

      | b    d  | 

a*d - c*b  ≠  0 

(0,0) =  p * (a,b) + q * (c,d)

{p*a + q*c = 0   = >  0 = 0    ∀a,c ∈ R

{p*b + q*d = 0   = >  0 = 0    ∀b,d ∈ R

 p=q=0

Condição:    a*d  ≠  c*b,  ∀a,b,c,d ∈ R

Para formar uma base, os vetores devem ser LI. Para que isso ocorra:

\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \neq 0 \\ \boxed{ad - bc \neq 0}\)