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Derivadas Parciais - Circuito Elétrico

"Num determinado circuito elétrico, a corrente 'I' é dada, em função da voltagem 'V', da resistência 'R' e da indutância 'L' por . I=V/√R²+10*L². No instante em que 'V' é 210 volts, R é igual a 3 ohms e está decaindo a uma taxa de 0,1 ohms por segundo, enquanto que 'L' é igual a 2 henrys e está crescendo a uma razão de 0,05 henrys por segundo. Qual deve ser a variação de 'V', neste instante, para que a corrente permaneça constante?".

Resposta dv/dt = 3 volts por segundo.

Cálculo III

UNISOCIESC


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Pelo enunciado, a fórmula da corrente é:

\(\Longrightarrow I = {V \over \sqrt{R^2 + 10L^2}}\)


Pelo enunciado, no instante de \(V=210 \, \mathrm{V}\), a corrente deve permanecer constante. Ou seja, a derivada da corrente deve ser zero. Portanto:

\(\Longrightarrow {dI \over dt} = 0\)


Desenvolvendo a equação anterior, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow {d \over dt} \Big ( {V \over \sqrt{R^2 + 10L^2}} \Big )=0\)

\(\Longrightarrow \Big ( {V \over \sqrt{R^2 + 10L^2}} \Big )'=0\)

\(\Longrightarrow {V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - V \big (\sqrt{R^2 + 10L^2} \big )' \over \big (\sqrt{R^2 + 10L^2} \big )^2} =0\)

\(\Longrightarrow {V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - V \big [ (R^2 + 10L^2)^{1/2} \big]' \over R^2 + 10L^2} =0\)


Como o denominador não pode ser zero, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - V \big [ (R^2 + 10L^2)^{1 \over 2} \big]' =0\)

\(\Longrightarrow V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - V {1 \over 2}\big [ (R^2 + 10L^2)^{{1 \over 2}-1} \big ] \cdot (R^2 + 10L^2)' =0\)

\(\Longrightarrow V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - {V \over 2\sqrt{R^2 + 10L^2}} \cdot \Big [ (R^2)' + (10L^2)' \Big ] =0\)

\(\Longrightarrow V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - {V \over 2\sqrt{R^2 + 10L^2}} \cdot \Big [ 2R\cdot (R)' + 10\cdot 2L\cdot (L)' \Big ] =0\)

\(\Longrightarrow V'(R^2 + 10L^2) - {V \over 2} \Big [ 2R\cdot (R)' + 10 \cdot 2L\cdot (L)' \Big ] =0\)

\(\Longrightarrow {dV \over dt}(R^2 + 10L^2) - V \Big [ R {dR \over dt} + 10L {dL \over dt} \Big ] =0\)

\(\Longrightarrow {dV \over dt}(R^2 + 10L^2) = V \Big [ R {dR \over dt} + 10L {dL \over dt} \Big ] \)

\(\Longrightarrow {dV \over dt} = {V \over R^2 + 10L^2} \cdot \Big [ R {dR \over dt} + 10L {dL \over dt} \Big ] \)     \((I)\)


Para corrente constante, o enunciado nos dá os seguintes dados:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} V=210 \, \mathrm {V} \\ R = 3 \, \mathrm{\Omega} \\ {dR \over dt} = -0,1 \, \mathrm{\Omega /s} \\ L = 2 \, \mathrm {H} \\ {dL \over dt} =0,05 \, \mathrm {H/s} \end{matrix} \right.\)


Finalmente, substituindo os dados conhecidos na equação \((I)\), o valor de \( {dV \over dt} \) é:

\(\Longrightarrow {dV \over dt} = {210 \over 3^2 + 10\cdot 2^2} \cdot \Big [ 3 \cdot(-0,1) + 10\cdot 2 \cdot 0,05 \Big ] \)

\(\Longrightarrow {dV \over dt} = {210 \over 9 + 40} \cdot \Big [ -0,3 + 1 \Big ] \)

\(\Longrightarrow {dV \over dt} = {210 \over 49} \cdot 0,7\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dV \over dt} = 3 \, \mathrm {V/s} $}\)

Pelo enunciado, a fórmula da corrente é:

\(\Longrightarrow I = {V \over \sqrt{R^2 + 10L^2}}\)


Pelo enunciado, no instante de \(V=210 \, \mathrm{V}\), a corrente deve permanecer constante. Ou seja, a derivada da corrente deve ser zero. Portanto:

\(\Longrightarrow {dI \over dt} = 0\)


Desenvolvendo a equação anterior, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow {d \over dt} \Big ( {V \over \sqrt{R^2 + 10L^2}} \Big )=0\)

\(\Longrightarrow \Big ( {V \over \sqrt{R^2 + 10L^2}} \Big )'=0\)

\(\Longrightarrow {V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - V \big (\sqrt{R^2 + 10L^2} \big )' \over \big (\sqrt{R^2 + 10L^2} \big )^2} =0\)

\(\Longrightarrow {V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - V \big [ (R^2 + 10L^2)^{1/2} \big]' \over R^2 + 10L^2} =0\)


Como o denominador não pode ser zero, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - V \big [ (R^2 + 10L^2)^{1 \over 2} \big]' =0\)

\(\Longrightarrow V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - V {1 \over 2}\big [ (R^2 + 10L^2)^{{1 \over 2}-1} \big ] \cdot (R^2 + 10L^2)' =0\)

\(\Longrightarrow V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - {V \over 2\sqrt{R^2 + 10L^2}} \cdot \Big [ (R^2)' + (10L^2)' \Big ] =0\)

\(\Longrightarrow V'\sqrt{R^2 + 10L^2} - {V \over 2\sqrt{R^2 + 10L^2}} \cdot \Big [ 2R\cdot (R)' + 10\cdot 2L\cdot (L)' \Big ] =0\)

\(\Longrightarrow V'(R^2 + 10L^2) - {V \over 2} \Big [ 2R\cdot (R)' + 10 \cdot 2L\cdot (L)' \Big ] =0\)

\(\Longrightarrow {dV \over dt}(R^2 + 10L^2) - V \Big [ R {dR \over dt} + 10L {dL \over dt} \Big ] =0\)

\(\Longrightarrow {dV \over dt}(R^2 + 10L^2) = V \Big [ R {dR \over dt} + 10L {dL \over dt} \Big ] \)

\(\Longrightarrow {dV \over dt} = {V \over R^2 + 10L^2} \cdot \Big [ R {dR \over dt} + 10L {dL \over dt} \Big ] \)     \((I)\)


Para corrente constante, o enunciado nos dá os seguintes dados:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} V=210 \, \mathrm {V} \\ R = 3 \, \mathrm{\Omega} \\ {dR \over dt} = -0,1 \, \mathrm{\Omega /s} \\ L = 2 \, \mathrm {H} \\ {dL \over dt} =0,05 \, \mathrm {H/s} \end{matrix} \right.\)


Finalmente, substituindo os dados conhecidos na equação \((I)\), o valor de \( {dV \over dt} \) é:

\(\Longrightarrow {dV \over dt} = {210 \over 3^2 + 10\cdot 2^2} \cdot \Big [ 3 \cdot(-0,1) + 10\cdot 2 \cdot 0,05 \Big ] \)

\(\Longrightarrow {dV \over dt} = {210 \over 9 + 40} \cdot \Big [ -0,3 + 1 \Big ] \)

\(\Longrightarrow {dV \over dt} = {210 \over 49} \cdot 0,7\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dV \over dt} = 3 \, \mathrm {V/s} $}\)

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Marcelo Braga

Há mais de um mês

De onde vc tirou a resposta dv/dt = 3 volts / seg.?
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Matheus Couto

Há mais de um mês

Amigo você encontra tudo isso pronto no halliday ou tipler

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas