galera v=(-1,-1,-2) forma um angulo de 60 graus com AB onde A=(0,3,4) e B (m,-1,2) calcular m , alguem pode me ajudar

fiz a questão mas não consigo enviar a imagem por aqui, então enviei no drive, você pode ver aqui https://drive.google.com/open?id=0B9-G53x5cuPFWVI5WFJWbFp4bWc, se não entender é só falar, ok?

A partir dos pontos dados no problema é possível construir os vetores \(\mathrm{\vec{v} \; e \; \vec{AB} }\), assim:

Se temos os pontos A=(0,3,4) e B=(m,-1,2), o vetor correspondente é:\(\mathrm{\vec{AB} =(\vec{AB})_x \hat{i} + (\vec{AB})_y \hat{j}+(\vec{AB})_z \hat{k}=(m-0)\hat{i}+(-1-3)\hat{j}+(2-4)\hat{k} \\ \implies \vec{AB} = m \hat{i}-4\hat{j}-2\hat{k}}\)

O vetor \(\mathrm{\vec{v} }\) é representado pelos os pontos v=(-1,-1,-2), significa que ele está partindo da origem do sistema, ou seja, do ponto (0,0,0), assim podemos obter que:\(\mathrm{\vec{v} =v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}=-\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k} }\), .

O produto escalar entre os vetores \(\mathrm{\vec{v} \; e \; \vec{AB} }\) pode ser expresso como

\( \mathrm{ \vec{AB} \odot \vec{v}= |\vec{AB}| \times \vec{v} \times cos\theta \quad (1) }\)

Mas:

\(\mathrm{|\vec{AB}|=\sqrt{m^2+(-4)^2+(-2)^2}=2m\sqrt{5} }\)

\(\mathrm{|\vec{v} |=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{6}}\)

\(\mathrm{cos\theta=cos60^o=0,5 }\)

Substituindo em (1), temos:

\( \mathrm{ \vec{AB} \odot \vec{v}= 2m\sqrt5\times\sqrt6\times0,5=m\sqrt{30} \quad (2) }\)

Porém, o produto escalar também pode ser expresso em termos das suas componentes, ou seja:

\( \mathrm{\vec{AB} \odot \vec{v}= (\vec{AB})_x\times v_x+(\vec{AB})_y\times v_y+ (\vec{AB})_z\times v_z \\ \implies =m\times(-1)+(-4)\times(-1)+(-2)\times(-2) \\ \implies \vec{AB} \odot \vec{v}=-m+8 \quad (3)}\)

Usando o fato de que as equações (2) e (3) são iguais, temos:

\( \mathrm{m\sqrt{30}=-m+8 \implies m=\frac{8}{1+\sqrt{30}}\cong1,23}\)

Portanto, m vale aproximadamente 1,23.