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Ajuda para calcular determinante de matriz usando teorema de Laplace

Calcule o determinante da matriz A utilizando o teorema de Laplace.

Cálculo I

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Há mais de um mês

Para encontrar o determinante, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right] \\ & \det A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} \times (-3) \\ {} \\ {{L}_{2}}-3{{L}_{1}}={{L}_{2}} \\ {} \\ \end{matrix} \\ & \det A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -6 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} \\ \times (-3/8) \\ {} \\ {} \\ \end{matrix} \\ & \det A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -6 & 2 \\ 0 & -3 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} \\ {} \\ {} \\ \times (-2/7) \\ \end{matrix} \\ & \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -6 & 2 \\ 0 & 0 & -7/4 & 1/4 \\ 0 & 0 & 0 & 24/7 \\ \end{matrix} \right] \\ & \det A=1\times (-8)\times \left( \frac{-7}{4} \right)\times \left( \frac{24}{7} \right) \\ & \det A=48 \\ \end{align} \)


Portanto, o determinante será igual a \(\boxed{48}\).

Para encontrar o determinante, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right] \\ & \det A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} \times (-3) \\ {} \\ {{L}_{2}}-3{{L}_{1}}={{L}_{2}} \\ {} \\ \end{matrix} \\ & \det A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -6 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} \\ \times (-3/8) \\ {} \\ {} \\ \end{matrix} \\ & \det A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -6 & 2 \\ 0 & -3 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} \\ {} \\ {} \\ \times (-2/7) \\ \end{matrix} \\ & \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -6 & 2 \\ 0 & 0 & -7/4 & 1/4 \\ 0 & 0 & 0 & 24/7 \\ \end{matrix} \right] \\ & \det A=1\times (-8)\times \left( \frac{-7}{4} \right)\times \left( \frac{24}{7} \right) \\ & \det A=48 \\ \end{align} \)


Portanto, o determinante será igual a \(\boxed{48}\).

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Júlio César

Há mais de um mês

Hey Bruno, tudo bom?
Então, usando o Teorema de Laplace para encontrar o determinante dessa matriz A, você pode fazer a expansão de cofatores na coluna 3. Por quê a coluna 3? Porque ela tem um número maior de zeros*
* Quanto mais zeros tiver numa linha/coluna, melhor,pois você irá calcular uma quantidade menor de cofatores, pois aqueles que contém o zero serão o próprio zero.
Tomando a coluna 3,
Δ13 (-1)^1+3 |3 1 2|3 1 

                     |2 3 1|2 3 

                     |0 2 3|0 2 

Usando a Regra de Sarri, encontramos que o det dessa expansão no cofator 13 será 27+8-6-6 = 27-4 = 23.

Não acabou aí não! O cofator que está na 13, é 2 (olha na matriz original), então esse cofator(2) irá multiplicar o det encontrando, então 23x2 = 46.

Note que só resta fazer, agora, a expansão na 43, logo:

 

Δ43 (-1)^4+3 |1 3 0|1 3

                     |3 1 2|3 1

                     |2 3 1|2 3

 

Usando a Regra de Sarri novamente, encontramos 1+12-6-9 = 13-6-9= 13-15 = -2.

Lembre, porém, que a soma do i e j (4 e 3, respectivamente) é igual a 7, número ímpar. Então, multiplicamos o det encontrado por -1, que agora é 2. Se o cofator 43 fosse um número diferente de 1, teríamos que multiplicar o det encontrado também pelo cofator, mas nesse 43 não precisa multiplicar porque como é 1, aí permanece o mesmo.

 

Agora, some os determinantes encontrado nessas expansões e terás o det da matriz A! 
det(A)= 46+2=48.

 

Espero que tenha ficado super claro. Algumas professores chamam a matriz resultante da expansão de Menor (M). Então caso o seu prof use assim, não tem problema, é só trocar o Δ e chamar de M. Mas não esquece de colocar o i e o j ^^'

Valeu!

Essa pergunta já foi respondida!