Ajuda com expressão numérica

Pegando os elementos por partes e de dentro para fora.

• resolvendo dentro do parenteses  ()
  •  (7 * √25 + 4º)½ = √(7 * 5 + 1) = √36 = 6
• resolvendo dentro do colchetes []
  • [2³ * (6) + (81)¼ / 3] = [ 8 * 6 + 3/3] = [48 + 1]  = 49
• resolvendo dentro da chaves {}
  
  •  { (2 + √16)² - [49] - 2³ * 2² } = { 6² - 49 - 8 * 4} = { 36 - 49 - 32} = -45
• resolvendo a equação completa
  • 5/3 + {-45} + 1/3 + ³√(64/27) = 5/3 - 45 + 1/3 + 4/3 = (5 - 135 + 1 + 4)/3 = -125/3

Propriedades utilizadas:

1. Todo numero diferente de 0, elevado a 0 é igual a 1.
2. Um numero elevado 1/2 é igual a raiz quadrada desse número (análogo para qualquer fração real)
   •  x elevado a 1/2 = raiz quadrada de x
   •  x elevado a 1/3 = raiz cúbica de x
   •  x elevado a 2/3 = raiz cúbica de x²
   •  x elevado a n/m = raiz m-ésima de x elevado a n (x^n)

Para encontrarmos o valor da expressão acima, devemos ir realizando as simplificações aos poucos, iniciando pelas raizes e potenciações, depois as divisões e multiplicações e após isso, as somas e subtrações, sempre respeitando os colchetes, parênteses e chaves:

\(\begin{align} & \frac{5}{3}+\left\{ {{\left( 2+\sqrt{16} \right)}^{2}}-\left[ {{2}^{3}}{{\left( 7\sqrt{25}+{{4}^{0}} \right)}^{1/2}}+\frac{\sqrt[4]{81}}{3} \right]-{{2}^{3}}\cdot {{2}^{2}} \right\}+{{3}^{-1}}+\sqrt[3]{\frac{64}{27}}= \\ & \frac{5}{3}+\left\{ {{\left( 2+4 \right)}^{2}}-\left[ 8{{\left( 7\cdot 5+1 \right)}^{1/2}}+\frac{3}{3} \right]-8\cdot 4 \right\}+\frac{1}{3}+\frac{4}{3}= \\ & \frac{5}{3}+\left\{ {{\left( 6 \right)}^{2}}-\left[ 8{{\left( 35+1 \right)}^{1/2}}+\frac{3}{3} \right]-32 \right\}+\frac{5}{3}= \\ & \frac{5}{3}+\left\{ 36-\left[ 8\sqrt{36}+1 \right]-32 \right\}+\frac{5}{3}= \\ & \frac{5}{3}+\left\{ 36-\left[ 8\cdot 6+1 \right]-32 \right\}+\frac{5}{3}= \\ & \frac{5}{3}+\frac{5}{3}\left\{ 36-\left[ 48+1 \right]-32 \right\}= \\ & \frac{10}{3}\left\{ 36-49-32 \right\}= \\ & \frac{10}{3}\left\{ -45 \right\}= \\ & \frac{-450}{3}=-150 \\ \end{align}\ \)

Portanto, o valor da expressão dada será \(\boxed{150}\).