Encontre um valor δ tal que: |1/x - 0,5| < 0,2 sempre que |x-2| < δ

Tirando os módulos:

-0.2+0.5<1/x<0.2+0.5 e -δ+2<x<δ+2

0.3<1/x<0.7 ⇒ 10/7<x<10/3 e -δ+2<x<δ+2

Na reta real:

----(2-δ)--------------2--------------(2+δ)----------

--------------1.42-----2------------3.33--------

1.42 > 2-δ   e   3.33 < δ+2

δ > 0.58 e δ > 1.33

Em suma: δ > 1.33

\(|1/x - 0,5| = |\frac{1 - 0,5x}{x}|\)

Se \( |\frac{1 - 0,5x}{x}| < 0,2 = \epsilon\), então:

\( |\frac{2 - x}{x}| < 0,4 \\ |\frac{x - 2}{x}| < 0,4 \)

Como \(|x - 2| < \delta\) e \(|x| < 2 - \delta\), teremos:

\( |\frac{x - 2}{x}| < \frac{\delta}{2 - \delta}\)

E podemos tomar:

\(\frac{\delta}{2 - \delta} = \epsilon \\ \frac{\delta}{2 - \delta} = 0,2 \\ \delta = 0,4 - 2 \delta \\ \boxed{\delta = 0,133...}\)