Para resolvermos essa integral, devemos utilizar o  método de substituição , o qual nos diz o seguinte:

\(\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{f(x)=}\int_{{}}^{{}}{{{\sec }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)} \\ & u=\left( \frac{1}{x} \right) \\ & du=\ln xdx \\ & dx=\frac{du}{\ln x} \\ & \\ & \int_{{}}^{{}}{{{\sec }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)}=\int_{{}}^{{}}{{{\sec }^{2}}u\cdot \frac{du}{\ln x}} \\ & \int_{{}}^{{}}{{{\sec }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)}=\frac{1}{\ln x}\int_{{}}^{{}}{{{\sec }^{2}}u}du \\ & \int_{{}}^{{}}{{{\sec }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)}=\frac{1}{\ln x}\left( \tan u \right) \\ & \int_{{}}^{{}}{{{\sec }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)}=\frac{1}{\ln x}\left( \tan \frac{1}{x} \right) \\ & \int_{{}}^{{}}{{{\sec }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)}=\frac{\tan \left( \frac{1}{x} \right)}{\ln x} \\ \end{align}\ \)

Portanto, a integral da função dada será \(\boxed{\int_{}^{} {{{\sec }^2}\left( {\frac{1}{x}} \right)} = \frac{{\tan \left( {\frac{1}{x}} \right)}}{{\ln x}}}\).