Como as duas últimas somas da equação dos vetores é igual e nem está sendo usado o w, vou assumir que ele deveria ser colocado na última soma (realizei os cálculos sem o w e somando o w com o outro vetor e ambos os cálculos resultam em equações de segundo grau sem resultados reais).

\(u\cdot v=(u+v)\cdot(v+w)\)

Vamos fazer os cálculos por partes, primeiro vamos fazer o produto de \(u\) e \(v\):

\(u\cdot v=(2,a,-1)\cdot(3,1,-2)\)

\(u\cdot v=2\cdot 3 + a \cdot 1 + (-1)\cdot(-2)\)

\(u\cdot v=6+a+2\)

\(u\cdot v=a+8\)

Agora vamos fazer a soma de \(u\) e \(v\):

\(u+v=(2,1,-1)+(3,1,-2)\)

\(u+v=(2+3,1+1,-1-2)\)

\(u+v=(5,2,-3)\)

Agora vamos fazer a soma de \(w\) e \(v\):

\(v+w=(3,1,-2)+(3a-1,-2,4)\)

\(v+w=(3+3a-1,1-2,-2+4)\)

\(v+w=(3a+2,-1,2)\)

Com os resultados das somas podemos calcular o produto entre as duas somas:

\((u+v)\cdot(v+w)=(5,2,-3)\cdot(3a+2,-1,2)\)

\((u+v)\cdot(v+w)=5\cdot(3a+2)+2\cdot (-1)+(-3) \cdot 2\)

\((u+v)\cdot(v+w)=15a+2\)

Substituindo o valor na equação inicial:

\(a+8=15a+2\)

\(a-15a=2-8\)

\(-14a=-6\)

\(a=\frac{6}{14}\)

\(a=\frac{3}{7}\)

O valor de \(a\) para que a equação seja verdadeira deve ser \(\frac{3}{7}\).

Obs.: assumi que todos os produtos na equação são produtos escalares.

Como as duas últimas somas da equação dos vetores é igual e nem está sendo usado o w, vou assumir que ele deveria ser colocado na última soma (realizei os cálculos sem o w e somando o w com o outro vetor e ambos os cálculos resultam em equações de segundo grau sem resultados reais).

\(u\cdot v=(u+v)\cdot(v+w)\)

Vamos fazer os cálculos por partes, primeiro vamos fazer o produto de \(u\) e \(v\):

\(u\cdot v=(2,a,-1)\cdot(3,1,-2)\)

\(u\cdot v=2\cdot 3 + a \cdot 1 + (-1)\cdot(-2)\)

\(u\cdot v=6+a+2\)

\(u\cdot v=a+8\)

Agora vamos fazer a soma de \(u\) e \(v\):

\(u+v=(2,1,-1)+(3,1,-2)\)

\(u+v=(2+3,1+1,-1-2)\)

\(u+v=(5,2,-3)\)

Agora vamos fazer a soma de \(w\) e \(v\):

\(v+w=(3,1,-2)+(3a-1,-2,4)\)

\(v+w=(3+3a-1,1-2,-2+4)\)

\(v+w=(3a+2,-1,2)\)

Com os resultados das somas podemos calcular o produto entre as duas somas:

\((u+v)\cdot(v+w)=(5,2,-3)\cdot(3a+2,-1,2)\)

\((u+v)\cdot(v+w)=5\cdot(3a+2)+2\cdot (-1)+(-3) \cdot 2\)

\((u+v)\cdot(v+w)=15a+2\)

Substituindo o valor na equação inicial:

\(a+8=15a+2\)

\(a-15a=2-8\)

\(-14a=-6\)

\(a=\frac{6}{14}\)

\(a=\frac{3}{7}\)

O valor de \(a\) para que a equação seja verdadeira deve ser \(\frac{3}{7}\).