Determine a derivada implcita de: x^2y+xy^2=6

x^2y+xy^2=6

=> x^2y=6-xy^2

=> lnx^2y=ln(6-xy^2)

=> 2ylnx=ln(6-xy^2)

A partir daqui é so aplicar as regras das derivadas, que ja conhece. Lembrando que a derivada é feita tendo y como variavel dependente e x como variavel independente.

=> 2y'lnx+2yx'/x=(6-xy^2)'/6-xy^2

=> 2y'lnx+2y/x=(0-x'y^2-x2yy')/(6-xy^2)

=> 2y'lnx+2y/x=(-y^2-x2yy')/(6-xy^2)

Agora procura-se agrupar os termos semelhantes

Tomando \(\frac{dy}{dx}\) por ambos os lados, obtemos:

\(2x + (y^2 + 2xy \frac{dy}{dx}) = 0 \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - y^2}{2xy}}\)

Perceba que na derivada de \(xy^2\) aplicamos uma simples regra do produto.