〖lim〗_(x→0) (√(1+x)-1)/x

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { \sqrt{1+x} - 1 \over x}\)

Através de algumas manipulações matemáticas, a expressão do limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { \sqrt{1+x} - 1 \over x} = \lim_{x \to 0} { \sqrt{1+x} - 1 \over x}{\sqrt{1+x} + 1 \over \sqrt{1+x} + 1}\)

                                \(= \lim_{x \to 0} { (\sqrt{1+x})^2 - 1^2 \over x(\sqrt{1+x} + 1)}\)

                                \(= \lim_{x \to 0} { 1+x - 1 \over x(\sqrt{1+x} + 1)}\)

                                \(= \lim_{x \to 0} { x \over x(\sqrt{1+x} + 1)}\)

                                \(= \lim_{x \to 0} { 1 \over \sqrt{1+x} + 1}\)

Finalmente, substituindo o valor do limite, o resultado final é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { \sqrt{1+x} - 1 \over x} = \lim_{x \to 0} { 1 \over \sqrt{1+x} + 1}\)

                                \(={ 1 \over \sqrt{1+0} + 1}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to 0} { \sqrt{1+x} - 1 \over x} = {1 \over 2} $}\)