Um cilindro isolante de raio R e comprimento L é centrado na origem???

Isso é você quem define, Leandro. Geralmente os livros adotam essa configuração para simplificar os cálculos.

Integre em relação a z mesmo. A densidade varia em z, isso pode ser em coordenadas cilindricas ou cartesianas. O resultado será o mesmo. 

A carga total é dada integrando a densidade de carga :

\(Q=\int p_0+\beta zdz\)

Assim:

\(\int _{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} p_0+\beta zdz=[p_0z+\beta \frac{ z^2}2] _{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\)

\([p_0z+\beta \frac{ z^2}2] _{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\\ [po.\frac{1}2+\beta \frac{ 1/4}2]-[po.(-\frac{1}2)+\beta \frac{ 1/4}2]=\\ po.\frac{1}2+po.\frac{1}2+\beta \frac{ 1/4}2-\beta \frac{ 1/4}2=\\ po.\frac{1}2+po.\frac{1}2 =p_0\)

Portanto,a carga total é igual a \(\boxed{p0}\)