Como resolver X^2+x+1>0? Pq ele tem a solução de todos os R? Pq o Delta da negativo, e não aceita a solução negativa na Raiz?

Tomando y = f(x) = x² + x + 1, podemos reescrever x² + x + 1 como x(x + 1) + 1. Agora, analisando x(x + 1), teremos um valor positivo caso x e (x + 1) tenham o mesmo sinal, e um valor negativo caso tenham sinais opostos. Temos os seguintes casos então:

1) (x > 0) e (x + 1 < 0) ⇒ (x > 0) e (x < -1)

e neste caso nenhum valor satisfaz ambas as desigualdades ao mesmo tempo.

2) (x < 0) e (x + 1 > 0) ⇒ (x < 0) e (x > -1)

e neste caso o intervalo (-∞, 0) ∩ (-1, +∞) = (-1, 0) satisfaz as desigualdades.

O menor valor de x(x + 1) será tal que tanto x quanto (x + 1) sejam os menores possíveis dentro desse intervalo. Quando x = 0, x(x + 1) = 0; quando x = -1, x(x + 1) = x(-1 + 1) = 0. Assim, em -1 e 0, x(x + 1) é 0, e no meio deste intervalo, -0.5, x(x + 1) tem seu valor mínimo de -0.25.

Temos então que mesmo quando x(x + 1) está no seu menor valor possível, x(x + 1) ≥ -0.25, então segue que x(x + 1) + 1 ≥ -0.25 + 1 = 0.75, logo x² + x + 1 ≥ 0.75 > 0, para todo número real. O delta é negativo porque a função não intercepta o eixo x, ou seja, x² + x + 1 nunca é igual a 0.